Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Sistema de referencia en el plano
2 Coordenadas del vector que une dos puntos
3 Vectores equipolentes
4 Condición para que tres puntos estén alineados
- 4.1 Ejercicios propuestos
5 Punto medio de un segmento
6 Simétrico de un punto respecto de otro
7 Ejercicios
- 7.1 Ejercicios propuestos
8 Traslaciones y homotecias

(Pág. 188)

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .

Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ diremos que tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.

Sistema de referencia ortonormal

Vector de posición y coordenadas de un punto del plano Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtienen las coordenadas de un punto respecto de un sistema de referencia del plano a partir de su vector de posición.

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces:

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Demostración:

Partimos de que

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

Por tanto,

$\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Ejemplo:

Dados los puntos $P(-5,3)\;$ y $Q(7,1)\;$ , halla las coordenadas de $\vec{PQ}$ y $\vec{QP}$ .

$\vec{PQ}=(7,1)-(-5,3)=(7+5,1-3)=(12,-2)$

$\vec{QP}=(-5,3)-(7,1)=(-5-7,3-1)=(-12,2)$

Vector que une dos puntos del plano

Tutorial 1 (5´42") Sinopsis:

Vector que une dos puntos del plano. Ejemplos.

Tutorial 2 (8´22") Sinopsis:

Vector que une dos puntos del plano. Ejemplos.

Tutorial 3 (15´47") Sinopsis:

Siendo $P = (x 0, y 0)$ y $Q = (x 1, y 1)$ puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q). En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales $(x 1 - x 0, y 1 - y 0)$ , que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par $(x 1 - x 0, y 1 - y 0)$ se dice que son las coordenadas del vector fijo.

Signo de las coordenadas de un vector (19´59") Sinopsis:

Estudio del signo de las coordenadas de un vector $\vec{AB}$ según la posición del origen A y el extremo B del vector.

Ejercicio 1 (3´52") Sinopsis:

Calcula las componentes de los vectores $\vec{AB}$ , $\vec{BC}$ y $\vec{CA}$ , siendo A=(4,1), B=(-3,0) y C=(5,-2).

Ejercicio 2 (4´35") Sinopsis:

Calcula el vector $\vec{AB}$ y dibújalo anclado al origen, siendo A=(-1,1) y B=(3,2).

Ejercicio 3 (7´29") Sinopsis:

Dados los puntos A(8,-2) y B(-3,-4), determina su módulo y su dirección (ángulo con los ejes).

Ejercicio 4 (9´33") Sinopsis:

Siendo $P = (x_0,y_0)\;$ y $Q = (x_1,y_1)\;$ puntos del plano, las coordenadas del "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q) son:

$\vec{PQ} = (x_1 - x_0 ; y_1 - y_0)$ .

En este vídeo nos dan las coordenadas del vector fijo y las del punto "P" (punto "Q"), pidiéndonos que determinemos las coordenadas del punto "Q" (punto "P").

Autoevaluación: Coordenadas del vector que une dos puntos Descripción:

En esta escena podrás calcular las coordenadas del vector que une dos puntos del plano.

Vectores equipolentes

Proposición

Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

Vectores equipolentes

Equipolencia de vectores fijos. Vector libre (14´37") Sinopsis:

Dos vectores fijos se dicen "equipolentes" si tienen el mismo módulo, dirección y sentido o, equivalentemente, si tienen las mismas coordenadas.

Si el vector fijo asociado al par (M,N) es equipolente al vector fijo asociado al par (S,T), los segmentos MT y NS tienen el mismo punto medio, y si los puntos "M", "N", "S" y "T" nos están alineados, el polígono cuyos vértices son esos puntos es un paralelogramo.

Se llama "vector libre" al CONJUNTO formado por un vector fijo y todos los equipolentes a él.

2 ejercicios (10´42") Sinopsis:

Conocidos 3 puntos del plano hallar un cuarto punto tal que forme con los otros tres un paralelogramo.

Coordenadas de vectores equipolentes Descripción:

En esta escena podrás ver como vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas.

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ son vectores paralelos, es decir, si sus coordenadas son proporcionales:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si los vectores $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ y $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ tienen la misma dirección.

Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: $\overrightarrow{AB}=\lambda \, \overrightarrow{BC}$

$(x_2-x_1,y_2-y_1)=\lambda \, (x_3-x_2,y_3-y_2) \rightarrow \begin{cases} x_2-x_1=\lambda \, (x_3-x_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2} \\ y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \end{cases}$

Igualando ambas expresiones de $\lambda \,$ , se obtiene lo que buscamos.

Ejemplo:

Comprueba que los puntos A(2,-1), B(6,1) y C(8,2) están alineados.

Solución:

Para que están alineados los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ deben ser paralelos, es decir, sus coordenadas deben ser proporcionales:

$\left.\begin{matrix} \vec{AB}=(6,1)-(2,-1)=(4,2) \\ \vec{BC}=(8,2)~-~(6,1)=(2,1) \end{matrix}\right\} \rightarrow \cfrac{4}{2} =\cfrac{2}{1} \rightarrow$ Están alineados.

Ejercicio resuelto

Averigua el valor de "m" para que P(1,4), Q(5,-2) y R(6,m) estén alineados.

Solución:

Para que se cumpla lo que piden $\vec{PQ}$ y $\vec{QR}$ deben ser paralelos, es decir, sus coordenadas deben ser proporcionales.

Solución: m=-3.5

Condición para que tres puntos estén alineados (20´52") Sinopsis:

Producto de un escalar por un vector
Propiedades
Vectores colineales
Condición para que tres puntos estén alineados

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Puntos y vectores en el plano

(Pág. 189)

1, 2, 3

Punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, $M\,$ , de un segmento de extremos $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ son:

$M \, \Big( \cfrac{x_1+x_2}{2},\, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)$

Demostración:

Sea $M=(x_3,y_3)\,$ el punto medio del segmento $\overline{AB}$ . Tenemos que:

$\overrightarrow{AM}=\cfrac{1}{2} \, \overrightarrow{AB} \rightarrow (x_3-x_1, y_3-y_1)=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1, y_2-y_1) \rightarrow$

$\rightarrow \begin{cases} x_3-x_1=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1) \rightarrow 2(x_3-x_1)=x_2-x_1 \rightarrow x_3=\cfrac{x_1+x_2}{2} \\ y_3-y_1=\cfrac{1}{2} \, (y_2-y_1) \rightarrow 2(y_3-y_1)=y_2-y_1 \rightarrow y_3=\cfrac{y_1+y_2}{2} \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Ejemplo:

Calcula el punto medio del segmento de extremos A(-5,2) y B(7,-4).

Solución:

$M \, \Big( \cfrac{-5+7}{2},\, \cfrac{2+(-4)}{2} \Big)=(1,-1)$

Punto medio de un segmento

Tutorial 1 (10´06") Sinopsis:

Obtención de la fórmula del punto medio de un segmento AB. Ejemplos

Tutorial 2 (16´30") Sinopsis:

Este vídeo explica como se calcula las coordenadas del punto medio de un segmento y lo ilustra con un ejemplo.

Ejercicio 1 (2´02") Sinopsis:

Halla el punto medio del segmento de extremos (-17,3) y (5,-29).

Ejercicio 2 (3´18") Sinopsis:

Halla el punto medio del segmento de extremos A(-2,-4) y B(4,-2).

Ejercicio 3 (5´23") Sinopsis:

Halla el punto medio del segmento de extremos A(-2,3/4) y B(1/6,3).

Ejercicio 4 (3´36") Sinopsis:

Halla el punto medio del segmento de extremos A(3.5,3/2) y B(5.3,7/5).

Ejercicio 5 (Trisección de un segmento) (7´59") Sinopsis:

En este video aprendemos a determinar los puntos que dividen un segmento dado en tres partes iguales.

Simétrico de un punto respecto de otro

Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro, utilizaremos la anterior fórmula del punto medio, tomando como datos los puntos A y M y como incógnita el punto B. Luego despejaremos de las ecuaciones resultantes las coordenadas del punto B.

También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de $A(x,y)\,$ respecto del punto $P(a,b)\,$ es:

$A'=(2a-x,2b-y)\,$ .

Demostración:

El punto $P(a,b)\,$ es el punto medio del segmento $\overline{AA'}$ . Aplicando la fórmula del punto medio:

$P=(a,b)=\Big( \cfrac{x+x'}{2}, \cfrac{y+y'}{2} \Big) \rightarrow \begin{cases} a=\cfrac{x+x'}{2} \rightarrow x'=2a-x \\ b=\cfrac{y+y'}{2} \rightarrow y'=2a-y \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Ejercicios resueltos

1. Halla el simétrico, A', del punto A(7,4) respecto de P(3,-11).

2. Dados los puntos M(7,4) y N(-2,1), halla un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N.

Solución:

Soluciones:

1. A'(-1,-26)

2. P(4,3)

Ejercicios

Puntos y vectores en el plano

Ejercicio 1 (6´34") Sinopsis:

Si A, B y C son los tres vértices de un triángulo, calcula $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$ .

Ejercicio 2 (7´13") Sinopsis:

Sea C un punto sobre el segmento AB tal que la distancia de C a B es el doble que la distancia de C a A. Sean $\vec{a}=\vec{OA}$ , $\vec{b}=\vec{OB}$ y $\vec{c}=\vec{OC}$ , donde O es el origen. Demostrar que $\vec{c}=\cfrac{2}{3}\vec{a}+\cfrac{1}{3}\vec{b}$ .

Ejercicio 3 (7´38") Sinopsis:

Haciendo uso de vectores, demuestra que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado, y tiene la mitad de su longitud.

Ejercicio 4 (10´21") Sinopsis:

Haciendo uso de vectores, demuestra que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

Ejercicios 5 (17´13") Sinopsis:

En éste video veremos 6 ejercicios en los que jugaremos con vectores colineales.

Ejercicios 6 (11'11") Sinopsis:

En éste video veremos 6 ejercicios en los que jugaremos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Puntos y vectores el plano

(Pág. 190)

4a,b,e

4c,d

Traslaciones y homotecias

Traslaciones y homotecias

Traslaciones (4´44") Sinopsis:

Siendo $\vec{u}$ un vector libre, llamamos traslación de vector $\vec{u}$ a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las que las coordenadas del vector fijo $\vec{AA'}$ coinciden con las de $\vec{u}$ . Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector $\vec{u}$ . Obvio: si $u = (u 1, u 2)$ y $A = (a 1, a 2)$ , es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2).

2 ejercicios (10´26") Sinopsis:

Siendo $\vec{u}$ un vector libre, llamamos traslación de vector $\vec{u}$ a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las coordenadas del vector fijo $\vec{AA'}$ coinciden con las de $\vec{u}$ . Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector $\vec{u}$ . Obvio: si $\vec{u} = (u_1,u_2)$ y $A = (a 1, a 2)$ , es $A' = (a 1 + u 1, u 2 + u 2)$ .

Pueden jugar a darte $\vec{u}$ y A y pedirte A', o darte $\vec{u}$ y A' y pedirte A, o darte A y A' y pedirte $\vec{u}$ .

Suma de vectores como composición de traslaciones (24´12") Sinopsis:

Suma de vectores: método del paralelogramo.
Coordenadas del vector suma.
Propiedades de la suma de vectores.
Suma de vectores como composición de traslaciones.

Homotecias (6´23") Sinopsis:

Llamamos homotecia de centro en el punto "P" y razón "k" a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que el vector fijo $\vec{PA'}$ es el producto del número real "k" por el vector fijo $\vec{PA'}$ .

El punto A' se dice homotético del punto A. Los puntos P, A y A' están alineados.

La homotecia se dice directa si k>0, y se dice inversa si k<0.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Puntos_y_vectores_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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 En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math>, que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math> se dice que son las coordenadas del vector fijo.
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