Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}, donde O\, es un punto fijo, llamado origen, y B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto P\, del plano tiene asociado un vector fijo \overrightarrow{OP}, llamado vector de posición del punto P\,.

Si el vector \overrightarrow{OP} tiene coordenadas (a,b)\, respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), el punto P\, diremos que tiene coordenadas (a,b)\, respecto del sistema de referencia \mathfrak{R}.

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia en el que la base es ortonormal.

ejercicio

Actividad interactiva: Sistema de referencia en el plano


Actividad 1: En la siguiente escena tenemos un punto P\, que da lugar al vector \overrightarrow{OP}, que tiene de coordenadas (4,3)\, respecto de la base ortonormal B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}).

Coordenadas del vector que une dos puntos

ejercicio

Coordenadas del vector que une dos puntos


Dados dos puntos del plano de coordenadas A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\,, respecto de un sistema de referencia \mathfrak{R}, entonces:
\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)

ejercicio

Actividad interactiva: Coordenadas del vector que une dos puntos


Coordenadas del vector que une dos puntos del plano respecto de un sistema de referencia ortonormal.

Condición para que tres puntos estén alineados

ejercicio

Condición para que tres puntos estén alineados


Los puntos del plano A(x_1,y_1)\,, B(x_2,y_2)\, y C(x_3,y_3)\,, están alineados si se cumple:
\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

ejercicio

Actividad interactiva: Condición para que tres puntos estén alineados


Actividad 1: Comprobación de que tres puntos del plano están alineados en un sistema de referencia ortonormal .

Actividad 2: Averigua las coordenadas de un punto para que esté alineado con otros dos.

Punto medio de un segmento

ejercicio

Punto medio de un segmento


Las coordenadas del punto medio, M\,, de un segmento de extremos A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\, son:


M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)

Simétrico de un punto respecto de otro

ejercicio

Simétrico de un punto respecto de otro


El punto simétrico de A(x,y)\, respecto del punto P(a,b)\, es:


A'=(2a-x,2b-y)\,.

ejercicio

Actividad interactiva: Punto medio y punto simétrico


  • Cálculo del punto medio de un segmento del plano.
  • Cálculo del punto simétrico de un punto dado respecto de otro.

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