Raíces
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Raíces
Sabemos que . Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como y se lee "3 es igual a la raíz cuadrada de 9".
En general:- Se define la raíz cuadrada de un número como otro número tal que .
Y escribimos:
- Se define la raíz cúbica de un número como otro número tal que .
Y escribimos:
- Igualmente, se define raíz n-sima de un número como otro número tal que .
Y escribimos:
El número se llama radicando, el número , índice y es la raíz.
Propiedades:
- y , para cualquier valor del índice .
- Si , existe cualquiera que sea el índice .
- Si , sólo existe si el índice es impar.
- Si el índice es par y el radicando , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando .
- .
- .
- porque .
- porque .
- porque .
- porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).
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Raíces exactas e inexactas
Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.
Ejemplo: Raíces exactas e inexactas
- Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:
a) Descomponemos .
Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:
Luego es racional.
b) Descomponemos .
Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:
Luego es racional.
c) Descomponemos .
La potencia de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.
Luego es irracional.La raíz como potencia de exponente fraccionario
Proposición
- Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, , y el exponente es , siendo el índice de la raíz. Ésto es:
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- De forma similar, también se cumple:
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Para la primera parte, basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz.
Para la segunda parte, haremos una comprobación análoga:
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Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario
- Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:
Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.
Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.