Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (1ºBach)

De Wikipedia

Tabla de contenidos

Circunferencia goniométrica

Vamos a establecer un sistema de referencia para el estudio de los ángulos de cualquier cuadrante.

Consideremos una circunferencia de radio 1 centrada en un sistema de referencia cartesiano, es decir, con su centro en el origen de coordenadas O. Sobre ella situaremos nuestro triángulo rectángulo ABC, haciendo coincidir su vértice A con O, el cateto contiguo al ángulo \alpha \; lo situaremos en el eje X positivo y la hipotenusa coincidiendo con el radio, tal y como se muestra en la figura. A esta circunferencia la llamaremos circunferencia goniométrica.

Teniendo en cuenta que \overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1 y la semejanza de los triángulos ABC y ADE, las razones trigonométricas del águlo \alpha \; se expresan de la siguiente manera:

sen \, \alpha = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\overline{CB}
cos \, \alpha =  \cfrac{\overline{OC}}{\overline{AB}}=\overline{OC}
tg \, \alpha = \cfrac {\overline{CB}}{\overline{OC}}=\cfrac{\overline{DE}}{\overline{OE}}=\overline{DE}

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Obsérvese como las coordenadas del punto B son (cos \, \alpha , sen \, \alpha ). Y por extensión, podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:

Dado un ángulo \alpha \,, se define el coseno y el seno de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte del segundo lado del ángulo con la circunferencia goniométrica:

B=(cos \, \alpha , sen \, \alpha )

Signo de las razones trigonométricas

Según en qué cuadrante estemos, el segmento OC que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen O. Así, asignaremos signo positivo al coseno si está a la derecha de O y negativo si está a la izquierda.

Analogamente, el segmento CB que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Asignaremos signo positivo al seno si está por encima y negativo si está por debajo.

Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:

Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar:

Radianes Grados sen cos tg cosec sec cot
0  \; 0^o \, 0 \; 1 \; 0 \; \not{\exists}  \,\! 1 \; \not{\exists}  \,\!
\frac{\pi}{6} 30^o \, \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{2\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
\frac{\pi}{4} 45^o \, \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 \, \sqrt{2} \sqrt{2} 1 \,
\frac{\pi}{3} 60^o \, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{2\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{\sqrt{3}}{3}
\frac{\pi}{2} 90^o \, 1 \; 0 \; \not{\exists}  \,\! 1 \, \not{\exists} \,\! 0 \,

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda