Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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(Ejercicios propuestos)
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 +|descripcion=En esta escena podrás ver la demostración del teorema de los senos.
 +|enlace=[http://ggbm.at/M7Cg9zrm Demostración del teorema de los senos]
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 +|descripcion=En esta escena podrás comprobar el valor de la constante del teorema de los senos.
 +|enlace=[http://www.geogebra.org/m/ZGKwds5A Valor de la constante del teorema de los senos]
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'''Demostración:''' '''Demostración:'''
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{{p}} {{p}}
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por '''A''' y otro que pase por '''C''', se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor '''2R''' y por tanto son iguales. Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por '''A''' y otro que pase por '''C''', se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor '''2R''' y por tanto son iguales.
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-{{Geogebra_enlace 
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-{{Web_enlace+{{Info|texto=Más información en: [http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/ley_sen/leySenos.html Teorema de los senos]}}
-|descripcion=El teorema de los senos. Ejemplos y actividades.+
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|descripcion=Problemas de aplicación del teorema de los senos. |descripcion=Problemas de aplicación del teorema de los senos.
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Línea 247: Línea 268:
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|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
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 +|titulo1=Ejercicio 3
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 +|sinopsis=En un triángulo ABC sabemos que <math>\hat A=87^\circ</math>, <math>b=12</math> y <math>c=9</math>. Halla el lado <math>a\;</math>.
 +}}
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 +|titulo1=Ejercicio 4
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 +|sinopsis=En un triángulo ABC sabemos que sus lados miden <math>a=50\,n</math>, <math>b=60\,m</math> y <math>c=20</math>. Halla el ángulo <math>\hat C\;</math>.
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{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
Línea 281: Línea 325:
|duracion=2´54" |duracion=2´54"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=84FDKiXpUIU |url1=https://www.youtube.com/watch?v=84FDKiXpUIU
-|sinopsis=Halla la distancia entre dos cometas sabiendo que un muchacho las sujeta con dos hilos que forman un ángulo de 30º y que miden 400 m y 500 m cada uno.+|sinopsis=Halla la distancia entre dos cometas sabiendo que un muchacho las sujeta con dos hilos que forman un ángulo de 30º y que miden 400 m y 500 m cada uno.
}} }}
{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
Línea 288: Línea 332:
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Zbjfxre7Llw |url1=https://www.youtube.com/watch?v=Zbjfxre7Llw
|sinopsis=De un puerto sale un barco a las 2:00 PM con velocidad constante de 60 km/h hacia el este. A las 3:00 PM sale, del mismo puerto, otro barco con velocidad constante de 40 km/h y con rumbo N18ºE. ¿Qué distancia separa los barcos a las 5:00 PM |sinopsis=De un puerto sale un barco a las 2:00 PM con velocidad constante de 60 km/h hacia el este. A las 3:00 PM sale, del mismo puerto, otro barco con velocidad constante de 40 km/h y con rumbo N18ºE. ¿Qué distancia separa los barcos a las 5:00 PM
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Problema 3
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 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=ruc6ciz8ciI
 +|sinopsis=Artemisa desea conocer la anchura del Cinturón de Orión, que es un cúmulo de estrellas en la constelación de Orión. Para ello deberá calcular la distancia entre las estrellas Alnitak y Mintaka, que están en los extremos del cinturón. Ella observa desde su casa que el ángulo que forma su visual entre la estrella Alnitak y la estrella Mintaka, es de 3º. Además conoce la distancia que hay desde sus casa hasta cada estrella: 736 años luz a Alnitak y 915 años luz a Mintaka.
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}} }}
Línea 300: Línea 350:
|descripcion=Problemas de aplicación del teorema del coseno. |descripcion=Problemas de aplicación del teorema del coseno.
|url1=http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=Precalculo2_soluciones/trig_laws/LeyCosAmbRespCorta.db&no_ques=2 |url1=http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=Precalculo2_soluciones/trig_laws/LeyCosAmbRespCorta.db&no_ques=2
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación
 +|descripcion=Autoevaluación sobre el teorema del coseno.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-with-general-triangles/law-of-cosines/e/law_of_cosines
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}} }}
Línea 332: Línea 387:
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-[[Imagen:red_star.png|12px]] 8a,b,d,g; 9+[[Imagen:red_star.png|12px]] 8a,b,g; 9
[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 8c,e,f,h [[Imagen:yellow_star.png|12px]] 8c,e,f,h
Línea 338: Línea 393:
}} }}
-==Ejercicios== 
-{{Geogebra_enlace 
-|descripcion=Problema resuelto sobre cómo calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles. Se usará el teorema de los senos y el del coseno. 
-|enlace=[http://ggbm.at/zznBAvac Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles] 
-}} 
==Ejercicios y videotutoriales== ==Ejercicios y videotutoriales==
 +En la siguiente tanda de ejercicios tendrás que decidir entre utilizar el teorema de los senos o el del coseno.
 +Pero antes puedes consultar el siguiente enlace para ver algunos ejemplos de aplicación de estos dos teoremas.
 +{{p}}
 +{{Web_enlace
 +|descripcion=Ejemplos de los distintos casos de resolución de triángulos.
 +|enlace=[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/triangulo_prob/triangulo_prob.html Ejemplos de resolución de triángulos]
 +}}
{{Videotutoriales|titulo=Resolución de triángulos cualesquiera|enunciado= {{Videotutoriales|titulo=Resolución de triángulos cualesquiera|enunciado=
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
Línea 356: Línea 413:
#Se conocen los tres lados. #Se conocen los tres lados.
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 2a
 +|duracion=13´51"
 +|url1=https://youtu.be/8kmB1Vkr6PU?list=PLwCiNw1sXMSCaukmrbPRm2SQuhas4kWS_
 +|sinopsis=Resolución de triángulos no rectángulos. Ejemplos.
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 2b
 +|duracion=8´53"
 +|url1=https://youtu.be/DYEGu9oNaZc?list=PLwCiNw1sXMSCaukmrbPRm2SQuhas4kWS_
 +|sinopsis=Problemas de distancias entre dos puntos no accesibles. Ejemplo.
}} }}
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Línea 362: Línea 431:
|duracion=2´57" |duracion=2´57"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=c-6gBVxInrA&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=6 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=c-6gBVxInrA&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=6
-|sinopsis=1 ejercicio (Se conocen dos ángulos y un lado). +|sinopsis='''Caso 1: Se conocen dos ángulos y un lado.'''
 + 
 +Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat B=53^\circ</math>, <math>\hat C=34^\circ</math> y <math>a= 10\,cm</math>.
 + 
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 369: Línea 441:
|duracion=9´18" |duracion=9´18"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=op8aXHJWM68&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=7 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=op8aXHJWM68&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=7
-|sinopsis=Dos ejercicios (Se conocen dos lados y el ángulo que forman). +|sinopsis='''Caso 2: Se conocen dos lados y el ángulo que forman.'''
 + 
 +# Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat C=59^\circ</math>, <math>a = 37 \, cm</math> y <math>b= 25\,cm</math>.
 +# Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat A=29^\circ</math>, <math>b = 13 \, cm</math> y <math>c= 9\,cm</math>.
 + 
}} }}
{{p}} {{p}}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 3+|titulo1=Ejercicio 3a
|duracion=7´56" |duracion=7´56"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=peHLs3D_Z4E&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=8 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=peHLs3D_Z4E&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=8
-|sinopsis=Dos ejercicios (Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno) +|sinopsis='''Caso 3: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno.'''
 + 
 +# Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat A=59^\circ</math>, <math>a = 14 \, cm</math> y <math>b= 8\,cm</math>.
 +# Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat B=54^\circ</math>, <math>a = b = 12 \, cm</math>.
 +
}} }}
{{p}} {{p}}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 4+|titulo1=Ejercicio 3b
|duracion=6´30" |duracion=6´30"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Yh5IgojmW9I&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=9 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=Yh5IgojmW9I&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=9
-|sinopsis=Ejercicio (Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno). +|sinopsis='''Caso 3: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno.'''
 + 
 +Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat B=20^\circ</math>, <math>b = 29 \, cm</math> y <math>c= 47\,cm</math>.
}} }}
{{p}} {{p}}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 5+|titulo1=Ejercicio 4
|duracion=4´35" |duracion=4´35"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-2zTgN_YPkI&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=10 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-2zTgN_YPkI&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=10
-|sinopsis=Dos ejercicios (Se conocen los tres lados). +|sinopsis='''Caso 4: Se conocen los tres lados.'''
 + 
 +# Resuelve el triángulo ABC si <math>a=7\,cm</math>, <math>b = 11 \, cm</math> y <math>c= 15\,cm</math>.
 +# Resuelve el triángulo ABC si <math>a=22\,cm</math>, <math>b = 7 \, cm</math> y <math>c= 17\,cm</math>.
}} }}
{{p}} {{p}}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 6+|titulo1=Ejercicio 5
|duracion=8´49" |duracion=8´49"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4OMAQuxYPfI&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=11 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=4OMAQuxYPfI&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=11
Línea 400: Línea 485:
}} }}
{{Video_enlace_miguematicas {{Video_enlace_miguematicas
-|titulo1=Ejercicio 7+|titulo1=Ejercicio 6
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 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Problema
 +|duracion=5´36"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2IF5nLi590Q
 +|sinopsis=Estás con un amigo que está volando una cometa. El está a 40 m de distancia de ti y sujeta la cometa con una cuerda que mide 30 m. Si tu observas la cometa con un ángulo de elevación sobre el suelo de 40º, ¿con qué ángulo de elevación la observa tu amigo?
 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Resolución de triángulos cualesquiera|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad 1
 +|descripcion=Repaso sobre el teorema de los senos y el del coseno.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-with-general-triangles/solving-general-triangles/a/laws-of-sines-and-cosines-review
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=Problema resuelto sobre cómo calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles. Se usará el teorema de los senos y el del coseno.
 +|enlace=[http://ggbm.at/zznBAvac Actividad 2: ''Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles'']
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación
 +|descripcion=Problemas sobre resolución de triángulos.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-with-general-triangles/solving-general-triangles/e/law-of-sines-and-cosines-word-problems
}} }}
-{{Video_enlace_miguematicas 
-|titulo1=Ejercicio 11 
-|duracion=6´03" 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=09QXon_f2dA&index=6&list=PLLfTN7MHLxConmGSq82Dwz6NE8i2l2rMW 
-|sinopsis=Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=70º, b=20 m y c=15 m.  
}} }}
 +{{Ejercicios_vitutor
 +|titulo1=Ejercicios y problemas
 +|descripcion=Ejercicios y problemas resueltos sobre triángulos oblicuángulos.
 +|url1=http://www.vitutor.com/al/trigo/tr_e1.html
}} }}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 116)

Teorema de los senos

ejercicio

Teorema de los senos


En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}


Además, todos estos cocientes son iguales a 2R\,, donde R\, es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

ejercicio

Ejemplo: Teorema de los senos


Resuelve el triángulo del que se conocen los siguientes datos:

a = 6 \, m \, , \, \hat B = 45^\circ \, , \, \hat C = 105^\circ



Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Teorema de los senos


(Pág. 117)

5, 6

(Pág. 118)

Teorema del coseno

ejercicio

Teorema del coseno


En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

c^2=a^2+b^2-2ab \, cos \, \hat C

Analogamente:

b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B

a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A

ejercicio

Ejemplo: Teorema del coseno


Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.



Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Teorema del coseno


(Pág. 119)

8a,b,g; 9

8c,e,f,h

Ejercicios y videotutoriales

En la siguiente tanda de ejercicios tendrás que decidir entre utilizar el teorema de los senos o el del coseno. Pero antes puedes consultar el siguiente enlace para ver algunos ejemplos de aplicación de estos dos teoremas.

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda