Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que es un diámetro, y además los ángulos y son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento . Por la definición de seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

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Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.

Primer caso: es agudo.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que de modo que . Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos , es decir:

Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto

Sustituimos el valor de u en la expresión para y simplificamos: c² = a² − b² + 2b (b-a cos(γ)), concluyendo

y terminando con esto la prueba del primer caso.

Segundo caso: es obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que

pero en este caso

Combinando ambas ecuaciones obtenemos

y de este modo

De la definición de coseno, se tiene cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} y por tanto

Sustituimos en la expresión para y simplificamos (a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente

Esto concluye la demostración.