Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)
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Teorema de los senos
Teorema de los senos
En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:
|
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro .
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que es un diámetro, y además los ángulos y son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento . Por la definición de seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.Teorema de los senos con otra demostración.
Ejemplo: Teorema de los senos
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=35º, B=61º y a=13 cm.
Teorema del coseno
Teorema del coseno
Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.
Primer caso: es agudo.
Consideremos la figura adjunta. La altura divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que
y
Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos Por la definición de coseno, se tiene: Sustituimos el valor de en la expresión para y simplificamos: concluyendo que y terminando con esto la prueba del primer caso. |
Segundo caso: es obtuso.
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que
y
Combinando ambas ecuaciones obtenemos De la definición de coseno, se tiene: Sustituimos en la expresión para y simplificamos concluyendo nuevamente |
Teorema del coseno con demostración.
Ejemplo: Teorema del coseno
Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
Resuelve el triángulo ABC sabiendo que C=42º, a=13 cm y b=8 cm.
Ejercicios
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