Semejanza de triángulos. Teorema de Tales (2º ESO)

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Tabla de contenidos

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Triángulos semejantes

Se dice que dos figuras geométricas, y en particular dos triángulos, son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.

Matemáticamente, la semejanza de triángulos la podemos expresar de la siguiente manera:

  • Dos triángulos, ABC\; y A'B'C'\;, son semejantes, y lo notaremos ABC \sim A'B'C'\;, si cumplen las dos condiciones siguientes:

1. Los ángulos correspondientes u homólogos* son iguales:
\widehat{A}=\widehat{A}'\, ,\ \widehat{B}=\widehat{B}'\, ,\ \widehat{C}=\widehat{C}'
2. Los lados correspondientes u homólogos son proporcionales:
\cfrac{c'}{c} = \cfrac {b'}{b} = \cfrac{a'}{a}=r

  • Al valor r\;\! se le llama razón de semejanza.


(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.

Nota: Cuando veamos los criterios de semejanza de triángulos, veremos que para que dos triángulos sean semejantes bastará con que se cumpla una de las dos condiciones: que los lados homólogos sean proporcionales o que los ángulos homólogos sean iguales. En tal caso, la otra condición se cumplirá automáticamente.

Criterios de semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza de triángulos simplifican el número de condiciones que deben comprobarse para que dos triángulos sean semejantes:

ejercicio

Criterios de semejanza de triángulos


  1. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: \frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} = \frac {c}{c'}
  2. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: \widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}'
  3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: \frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} \ , \ \widehat{C}=\widehat{C}'

Aplicaciones de los criterios de semejanza

Los criterios de semejanza que hemos visto tienen numerosas aplicaciones. Veamos algunas de ellas.

Teorema de Tales

ejercicio

Primer teorema de Tales


Dos rectas paralelas, AB y A'B', que cortan a dos rectas secantes, d y d', determinan en éstas segmentos proporcionales:

 

\frac {\overline{OA}} {\overline{OB}} = \frac {\overline{AA'}} {\overline{BB'}} = \frac {\overline{OA'}} {\overline{OB'}}

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Teorema de Tales


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