Sistemas de ecuaciones lineales (4ºESO Académicas)

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Ecuación de primer grado con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas o ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación polinómica de primer grado con dos incógnitas. Por tanto, se puede expresar de la siguiente forma general:

ax+by=c\;\!

donde x\;\! e y\;\! son variables (incógnitas) y a,\, b\;\! y c\;\! constantes (números reales).

Soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas

Las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas ax+by=c\; son las parejas de valores (x,y)\; que hacen que se cumpla la igualdad.

ejercicio

Proposición


Una ecuación de primer grado con dos incógnitas ax+by=c\;\! tiene infinitas soluciones.

Para cada valor que le asignemos a la variable x\;\!, podemos encontrar un valor de la variable y\;\!, despejándola en la anterior ecuación, como se muestra a continuación:

y=\cfrac{c-ax}{b}

Representación gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

ejercicio

Proposición


Las parejas de soluciones (x,y)\;\! de una ecuación lineal con dos incógnitas, representadas como puntos en un sistema de ejes cartesianos, forman una recta.

  • El punto de corte con el eje de abscisas (OX), que se obtiene para y=0\;, recibe el nombre de abscisa en el origen.
  • El punto de corte con el eje de ordenadas (OY), que se obtiene para x=0\;, recibe el nombre de ordenada en el origen.

ejercicio

Ejemplo: Representación gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas


Halla y representa las soluciones de la ecuación:

2x+3y=4\;\!

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

  • Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o simplemente, sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es la agrupación de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
\left . \begin{matrix} ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{matrix} \right \}
  • Se llama solución de un sistema 2x2, a cualquier pareja de valores (x,y)\; que sea solución de ambas ecuaciones a la vez. Las soluciones de este tipo de sistemas son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del sistema.

ejercicio

Ejemplo: Solución de un sistema de ecuaciones


Comprueba si las parejas de números (1,2) y (-1,3) son o no soluciones del sistema:

\left . \begin{matrix} 5x+y=-2 \\ -x+y=4 \end{matrix} \right \}

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Ya conocemos el método grafico para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ahora vamos a ver tres métodos algebraicos: los métodos de sustitución, igualación y reducción.

Método de sustitución

ejercicio

Procedimiento


Para resolver un sistema por el método de sustitución se siguen los siguientes pasos:

  1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones (la que resulte más fácil de despejar).
  2. Se sustituye la incógnita despejada en (1) en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
  3. Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
  4. El valor obtenido en (3) se sustitute en la expresión de la incógnita despejada en (1), averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

ejercicio

Ejemplo: Método de sustitución


Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:

\left . \begin{matrix} x-y=6 \\ 3x+2y=13 \end{matrix} \right \}

Método de igualación

ejercicio

Procedimiento


Para resolver un sistema por el método de igualación se siguen los siguientes pasos:

  1. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones del sistema.
  2. Se igualan las expresiones obtenidas en (1), con lo que se obtiene una ecuación con una sola incógnita.
  3. Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
  4. El valor obtenido en (3) se sustitute en una de las dos expresiones de la incógnita despejada en (1), averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

ejercicio

Ejemplo: Método de igualación


Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:

\left . \begin{matrix} 5x+12y=6 \\ 3x+2y=2 \end{matrix} \right \}

Método de reducción

ejercicio

Procedimiento


Para resolver un sistema por el método de reducción o eliminación se siguen los siguientes pasos:

  1. Se obtiene un sistema equivalente al de partida, multiplicando las dos ecuaciones por números apropiados, de manera que una de las incógnitas quede con coeficentes opuestos en ambas ecuaciones.
  2. Se suman las ecuaciones del nuevo sistema, desapareciendo así la incógnita con coeficientes opuestos.
  3. Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
  4. El valor obtenido en (3) se sustitute en una de las dos ecuaciones del sistema de partida, averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

ejercicio

Ejemplo: Método de reducción


Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:

\left . \begin{matrix} 3x+2y=7 \\ 4x-3y=15 \end{matrix} \right \}

Reglas para resolver sistemas lineales

ejercicio

Procedimiento


Para resolver un sistema de ecuaciones lineales podemos proceder de la siguiente forma:

  1. Transformar las ecuaciones del sistema hasta que tengan la forma ax+by=c\;. Para ello deberás quitar denominadores y paréntesis (si los hay), transponer términos y simplificar.
  2. Elegir un método de resolución adecuado: el método de sustitución es cómodo si alguna incógnita tiene coeficiente 1 o -1; el de reducción es cómodo si alguna incógnita tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones o sus coeficientes son uno múltiplo del otro; el de igualación es cómodo por su mecánica de despejar, igualar y multiplicar en cruz.
  3. Podemos, opcionalmente, comprobar las soluciones. Para ello sustituiremos las incógnitas por los valores obtenidos en las dos ecuaciones del sistema de partida y los resultados deben coincidir.

ejercicio

Ejercicio resuelto


Resuelve el siguiente sistema:

\left . \begin{matrix} \cfrac{x-1}{5}-\cfrac{x-y}{3}=\cfrac{2x+9y}{15}-5 \\~ \\ -5(x+y-8)+13=-3y-7 \end{matrix} \right \}

Resolución de problemas mediante sistemas

ejercicio

Procedimiento


Para resolver un problema mediante sistemas de ecuaciones hay que seguir los siguientes pasos:

  1. Determinar las incógnitas.
  2. Traducir el enunciado del problema al lenguaje algebraico mediante ecuaciones en las que intervengan las incógnitas.
  3. Resolver el sistema, es decir, hallar el valor de las incógnitas.
  4. Dar la solución del problema a partir de los valores obtenidos de las incógnitas.

ejercicio

Ejercicios resueltos


  1. Dos estaciones A y B distan 255 km. Un tren sale de A hacia B a una velocidad constante de 60 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A otro tren a 110 km/h. Calcular el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante.
  2. Un bodeguero ha mezclado dos garrafas de vino. La primera, de mejor calidad, a 3 €/l y la segunda, de claidad inferior, a 2.20 €/l. De esta forma ha obtenido 16 l de un vino de calidad intermedia que sale a 2.50 €/l. ¿Qué cantidad de vino había en cada garrafa?
  3. Mariluz ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 15%. Jorge ha comprado otro abrigo 25 € más caro, pero ha conseguido una rebaja del 20%, con lo que sólo ha pagado 8 € más que Mariluz. ¿Cuál era el precio original de cada abrigo?
  4. La diagonal de un rectángulo mide 26 m, y el perímetro, 68 m. Calcula la medida de sus lados.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Sistemas de ecuaciones lineales


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