Sucesos aleatorios (3ºESO)

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==Fenómeno o experimentos aleatorio== ==Fenómeno o experimentos aleatorio==
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Fenómeno o experimentos aleatorio}}
-Un fenómeno o experimento '''aleatorio''' es aquel en el que no se puede preveer, con certeza, el resultado que va tener lugar al observar el fenómeno o al realizar el experimento. El resultado depende del azar. En caso contrario, se dirá que es '''determinista'''.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido=+
-*Al lanzar una moneda al aire, no sabemos si va a salir cara o cruz. Por tanto, se trata de un experimento aleatorio en el que los posibles resultados son "salir cara" o "salir cruz".+
-*Si nos preguntamos si lloverá mañana, caben dos posibilidades: "si" o "no", y no sabemos con certeza que ocurrirá.+
-*Si metemos un agua en un congelador a -20ºC, ésta se congela. Se trata de un experimento determinista.}}+
{{p}} {{p}}
==Espacio muestral== ==Espacio muestral==
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Espacio muestral}}
- +
-'''Espacio muestral''' es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento aleatorio. Lo denotamos con la letra {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>E \;</math>}}, o bien, {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\Omega \;</math>}}.+
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-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Espacio muestral'' 
-|enunciado=¿Cuál es el espacio muestral asociado al experimento de "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos"? 
-|sol=<center> 
-<math> 
-E = 
-\left\{ 
- \, 2, \, 3, \, 4 , \, 5, \, 6 , \, 7, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11, \, 12 \, \right\} 
-</math> 
-</center> 
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-{{p}} 
-{{ejercicio|titulo=Ejercicios: ''Espacio muestral'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= '''1'''.Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: 
- 
-a) Lanzar tres monedas. 
-  
-b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. 
-  
-c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. 
-  
-d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.  
-|sol= 
-a) Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral: 
- 
-E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)} 
- 
-b) E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} 
- 
-c) Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos: 
- 
-E={BB,BN,NN} 
- 
-d) Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral: 
- 
-E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)} 
-}} 
-}} 
==Sucesos== ==Sucesos==
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Sucesos}}
-*'''Suceso''' de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>+
-E\,+
-</math>}}. Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.+
-*Al conjunto de todos los sucesos que pueden tener lugar en un experimento aleatorio se le llama '''espacio de sucesos''' y se designa por {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>+
-S\,+
-</math>}}.}}+
-{{p}}+
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Si el cardinal de {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>+
-E\,+
-</math>}} es un número finito, <math>n\,</math>, entonces el cardinal de {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>+
-S\,+
-</math>}} es {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>+
-2^n\,+
-</math>}}+
-|demo=+
-'''Demostración:'''+
-Como E tienen n elementos, y cada uno de ellos tiene 2 posibilidades ("estar" o "no estar" en un subconjunto de E) entonces los casos posibles son <math>2^n\;</math>.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Sucesos''+
-|enunciado=+
-En el experimento "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos", determina los siguientes sucesos del espacio muestral:+
-a) Salir múltiplo de 5.{{b4}} b) Salir número primo.{{b4}} c) Salir mayor o igual que 10. 
-|sol= 
-a) Salir múltiplo de 5: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 
-<math> 
-A = 
-\left\{ 
- \, 5, \, 10 \, 
-\right\} 
-</math> 
-&nbsp; 
- 
-<br/> 
- 
-b) Salir número primo: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 
-<math> 
-B = 
-\left\{ 
- \, 2, \, 3, \, 5, \, 7, \, 11 \, 
-\right\} 
-</math> 
-&nbsp; 
- 
-<br/> 
- 
-c) Salir mayor o igual que 10: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 
-<math> 
-C = 
-\left\{ 
- \, 10, \, 11, \, 12 \, 
-\right\} 
-</math> 
-&nbsp; 
-}} 
-{{p}} 
-Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos. 
-<br/> 
-{{Caja_Amarilla|texto= 
-*'''Sucesos elementales''' son los que están formados por un solo resultado del experimento. 
-*'''Sucesos compuestos''' son los que estan formados por dos o más resultados del experimento, es decir, por dos o más sucesos elementales. 
-*'''Suceso seguro''' es el que ocurre siempre que se realice el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral. 
-*'''Suceso imposible''' es el que nunca se verifica. Se representa por <math>\emptyset</math>. 
-*'''Suceso contrario''' de un suceso <math>A\;</math> es el ocurre cuando no ocurre el suceso <math>A\;</math>. Se representa por <math>\overline{A}</math>. 
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Probabilidad]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Probabilidad]]

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Tabla de contenidos

Introducción

El siguiente videotutorial resume todo lo que vamos a ver en los siguientes apartados.

Fenómeno o experimentos aleatorio

  • Un fenómeno o experimento aleatorio es aquel en el que no se puede preveer, con certeza, el resultado que va tener lugar al observar el fenómeno o al realizar el experimento. El resultado depende del azar.
  • En caso contrario, se dirá que el fenómeno o experimento es determinista.

Espacio muestral

Llamaremos espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados o casos de un experimento aleatorio. Lo denotamos con la letra E \;, o bien, \Omega \;.

ejercicio

Ejemplos: Espacio muestral


a) ¿Cuáles son los casos y el espacio muestral asociado al experimento de "lanzar una moneda"?

b) ¿Cuál es el espacio muestral asociado al experimento de "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos"?

ejercicio

Ejercicios: Espacio muestral


Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) Lanzar tres monedas.

b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.

d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.


Ayúdate de la siguiente escena con la que podrás construir el diagrama de árbol correspondiente:

Sucesos

  • Llamaremos suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E\,. Para designar cualquier suceso utilizaremos letras mayúsculas.
  • Al conjunto de todos los sucesos que pueden tener lugar en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por S\,.

ejercicio

Proposición


Si el cardinal de E\, es un número finito, n\,, entonces el cardinal de S\, es 2^n\,

ejercicio

Ejemplo: Sucesos


En el experimento "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos", determina los siguientes sucesos del espacio muestral:

a) Salir múltiplo de 5.     b) Salir número primo.     c) Salir mayor o igual que 10.

Tipos de sucesos

Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.

  • Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado o caso del experimento.
  • Sucesos compuestos son los que estan formados por más de un resultado o caso del experimento, es decir, por más de un suceso elementale.
  • Suceso seguro es el que ocurre siempre que se realice el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
  • Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por \emptyset.

Operaciones con sucesos. Sucesos compatibles e incompatibles

  • Unión de sucesos: La unión de dos sucesos A\; y B\; está formada por aquellos sucesos elementales que pertenecen al conjuto A\; o al conjunto B\; (se juntan los elementos de A\; y de B\;). Se representa A \cup B.
  • Intersección de sucesos: La intersección de dos sucesos A\; y B\; está formada por aquellos sucesos elementales que pertenecen al conjuto A\; y al conjunto B (los elementos comunes de A\; y B\;). Se representa A \cap B.
  • Dos sucesos son incompatibles cuando no tienen ningún suceso elemental en común, es decir, cuando A \cap B=\empty. En caso contrario diremos que son compatibles.
  • Suceso contrario o complementario de un suceso A\; es el formado por los sucesos elementales del espacio muestral que no están en A\;. Se representa por \overline{A}.

ejercicio

Ejemplo: Operaciones con sucesos


En el experimento "lanzar un dado", se consideran los sucesos siguientes:

A = Obtener un número menor que 4 = {1, 2, 3}
B = Obtener un número impar = {1, 3, 5}

Calcula:

a) A \cup B         b) A \cap B         c) \overline{A}         d) \overline{B}

Actividades y videotutoriales

Herramientas personales
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