Vectores: Coordenadas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Base de vectores en el plano
- 1.1 Base ortogonal y ortonormal
2 Coordenadas de un vector respecto de una base
3 Operaciones con coordenadas de vectores

Base de vectores en el plano

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, $\overrightarrow{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos:

$\overrightarrow{v}=a \overrightarrow{x}+b \overrightarrow{x}$ >

Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números $a\,$ y $b\,$ para los que se cumple la igualdad anterior.

Estos resultados permiten dar la siguiente definición:

Se llama base de un conjunto de vectores del plano a dos vectores $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ , con distintas direcciones. La representaremos por $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ .

De esta manera, los resultados anteriores se pueden reenunciar de la siguiente manera:

Teorema de la base

Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.

Base ortogonal y ortonormal

Si los dos vectores de una base del plano son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además ambos tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal

Coordenadas de un vector respecto de una base

Dada una base del plano $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , por el teorema de la base, sabemos que cualquier vector $\overrightarrow{v}$ se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base, de forma única: $\overrightarrow{v}=a \overrightarrow{x}+b \overrightarrow{x}$

Al par de números $(a,b)\,$ los llamaremos las coordenadas del vector $\overrightarrow{v}$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ . Lo expresaremos $\overrightarrow{v}=(a,b)$ , o bien, $\overrightarrow{v}(a,b)$ .
Las coordenadas de los vectores de la base son $\overrightarrow{x}(1,0)$ e $\overrightarrow{y}(0,1)$ , ya que $\overrightarrow{x}=1 \overrightarrow{x}+0 \overrightarrow{y}$ y $\overrightarrow{y}=0 \overrightarrow{x}+1 \overrightarrow{y}$ .

Combinación lineal de vectores. Coordenadas respecto de una base Descripción:

En esta escena podrás poner un vectror como combinación lineal de otros dos no alineados y que, por tanto, constituyen una base de vectores del plano). En consecuncia podrás averiguar sus coordenadas respecto de dicha base, que serán los números por los que hay que multiplicar los vectores dados.

Operaciones con coordenadas de vectores

Sean $\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$ y $\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$ dos vectores del plano:

Suma de vectores: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
Producto por un número k: $k \overrightarrow{u}=(k \, x_1,k \, y_1)$
Combinación lineal: $a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}=(a \, x_1+ b \, x_2, a \, y_1+b \, y_2)$

Suma de vectores. (24´12") Sinopsis:

Suma de vectores: método del paralelogramo.
Coordenadas del vector suma.
Propiedades de la suma de vectores.

Producto de un escalar por un vector. (20´52") Sinopsis:

Producto de un escalar por un vector
Propiedades
Vectores colineales

4 ejercicios (10´17") Sinopsis:

Videotutorial

2 ejercicios (13´40") Sinopsis:

Videotutorial

Operaciones con coordenadas de vectores

Actividad: Termino general de una sucesión

Sean $\vec{u} =(-2,1)$ y $\vec{v} =(1,2)$ a) Calcula las coordenadas de $4 \vec{u}$

b) Calcula las coordenadas de $\vec{u}- \vec{v}$

c) Calcula las coordenadas de $3 \vec{u} +2 \vec{v}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) vector 4(-2,1)

b) vector (-2,1)-(1,2)

c) vector 3(-2,1)+2(1,2)

Actividad interactiva: Operaciones con coordenadas

Actividad 1: Coordenadas de la suma de dos vectores.

Actividad:

En esta escena tenemos dos vectores cuyas coordenadas respecto de una base ortonormal son:

$\overrightarrow{u}=(2,4) \, \quad \overrightarrow{v}=(8,-1)$

Entonces, las coordenadas del vector suma son:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(2+8,4-1)=(10,3)$

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Coordenadas del producto de un vector por un número.

Actividad:

En esta escena tenemos un vector cuyas coordenadas respecto de una base ortonormal son:

$\overrightarrow{u}=(2,1)$

Entonces:

$3 \overrightarrow{u} =(3 \cdot2,3 \cdot 1)=(6,3)$

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: Coordenadas de la combinación lineal de dos vectores.

Actividad:

En esta escena tenemos dos vectores cuyas coordenadas respecto de una base ortonormal son:

$\overrightarrow{u}=(0,2) \, \quad \overrightarrow{v}=(3,1)$

Entonces:

$3 \overrightarrow{u}+2 \overrightarrow{v}=3 \, (0,2)+ 2 \, (3,1)=(0,6)+(6,2)=(6,8)$

Click aquí si no se ve bien la escena

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Coordenadas_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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-Cambiando los valores de '''a''' y '''b''' puedes ver las distintas coordenadas que va teniendo los distintos vectores {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{z}</math>}} y la combinación lineal de {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}} e {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{y}</math>}} que nos da {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{z}</math>}}, pues  {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{z}=a \overrightarrow{x} +  b \overrightarrow{y}</math>}}.
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-'''Ejercicio:'''
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-Halla las coordenadas del vector {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}} respecto de la base {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>B(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})</math>}}:
-#Hay que formar un paralelogramo con las prolongaciones de los vectores {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} (Variando '''a''' y '''b'''), de tal forma que {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}} sea una diagonal del mismo.  Por tanto esta vez, te conviene prolongar {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} en el sentido opuesto y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} en su mismo sentido.
-#A continuación tienes que trazar paralelas a {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} desde el extremo de {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}}, '''A''', para completar el paralelogramo.
-#Escribe en tu cuaderno {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}} como combinación lineal de {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}.
-#Escribe las coordenadas de {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}} respecto de la base {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>B(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})</math>}}.
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Revisión de 13:15 7 oct 2016

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