Vectores: Coordenadas (1ºBach)

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|enunciado=Sean <math>\vec{u} =(-2,1)</math> y <math>\vec{v} =(1,2)</math>. Representa y halla las coordenadas, el módulo y el argumento de los siguientes vectores: |enunciado=Sean <math>\vec{u} =(-2,1)</math> y <math>\vec{v} =(1,2)</math>. Representa y halla las coordenadas, el módulo y el argumento de los siguientes vectores:
-a) <math>4 \vec{u}</math>+:a) <math>4 \vec{u}</math>
-b) <math>\vec{u}- \vec{v}</math>+:b) <math>\vec{u}- \vec{v}</math>
-c) <math>3 \vec{u} +2 \vec{v}</math>+:c) <math>3 \vec{u} +2 \vec{v}</math>
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Tabla de contenidos

Base de vectores en el plano

ejercicio

Proposición


  • Dados dos vectores \overrightarrow{x} e \overrightarrow{y}, con distintas direcciones, cualquier vector del plano, \overrightarrow{v}, se puede poner como combinación lineal de ellos:

\overrightarrow{v}=a \overrightarrow{x}+b \overrightarrow{x}

  • Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números a\, y b\, para los que se cumple la igualdad anterior.

Estos resultados permiten dar la siguiente definición:

Se llama base de un conjunto de vectores del plano a dos vectores \overrightarrow{x} e \overrightarrow{y}, con distintas direcciones. La representaremos por B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}).

De esta manera, los resultados anteriores se pueden reenunciar de la siguiente manera:

ejercicio

Teorema de la base


Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.

Base ortogonal y ortonormal

Si los dos vectores de una base del plano son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además ambos tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal

Coordenadas de un vector respecto de una base

Dada una base del plano B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), por el teorema de la base, sabemos que cualquier vector \overrightarrow{v} se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base, de forma única: \overrightarrow{v}=a \overrightarrow{x}+b \overrightarrow{x}

  • Al par de números (a,b)\, los llamaremos las coordenadas del vector \overrightarrow{v} respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}). Lo expresaremos \overrightarrow{v}=(a,b), o bien, \overrightarrow{v}(a,b).
  • Las coordenadas de los vectores de la base son \overrightarrow{x}(1,0) e \overrightarrow{y}(0,1), ya que \overrightarrow{x}=1 \overrightarrow{x}+0 \overrightarrow{y} y \overrightarrow{y}=0 \overrightarrow{x}+1 \overrightarrow{y}.

Operaciones con coordenadas de vectores

Sean \overrightarrow{u}=(x_1,y_1) y \overrightarrow{v}=(x_2,y_2) dos vectores del plano:

  • Suma de vectores: \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)
  • Producto por un número k: k \overrightarrow{u}=(k \, x_1,k \, y_1)
  • Combinación lineal: a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}=(a \, x_1+ b \, x_2, a \, y_1+b \, y_2)

ejercicio

Actividad interactiva: Operaciones con coordenadas


Actividad 1: Coordenadas de la suma de dos vectores.

Actividad 2: Coordenadas del producto de un vector por un número.

Actividad 3: Coordenadas de la combinación lineal de dos vectores.

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