Vectores: Coordenadas (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 09:50 29 jun 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Operaciones con vectores dados por coordenadas)
← Ir a diferencia anterior
Revisión de 09:52 29 jun 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Operaciones con vectores dados por coordenadas)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 213: Línea 213:
|titulo1=Suma de vectores. |titulo1=Suma de vectores.
|duracion=24´12" |duracion=24´12"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/07-suma-de-vectores-o-composicion-de-traslaciones-como-prefieras#.VC2KPxa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=W1ZVmYI__fY&index=14&list=PL811F7AF8E8EC9655
|sinopsis= |sinopsis=
*Suma de vectores: método del paralelogramo. *Suma de vectores: método del paralelogramo.
Línea 222: Línea 222:
|titulo1=Producto de un escalar por un vector. |titulo1=Producto de un escalar por un vector.
|duracion=20´52" |duracion=20´52"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/08-producto-de-un-escalar-numero-real-por-un-vector#.VC2NLBa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Yn-g_bA3Zjg&index=15&list=PL811F7AF8E8EC9655
|sinopsis= |sinopsis=
*Producto de un escalar por un vector *Producto de un escalar por un vector
Línea 252: Línea 252:
|titulo1=Ejercicios 4 |titulo1=Ejercicios 4
|duracion=10´17" |duracion=10´17"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/0801-cuatro-ejercicios-6#.VC2arha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=GDGHqJJTPvE&list=PL811F7AF8E8EC9655&index=16
|sinopsis=Sean <math>\vec{u}=(2,1)\, , \ \vec{v}=(a,-1) \ y \ \vec{z}=(1,b)</math>. Halla "a" y "b" en los siguientes casos: |sinopsis=Sean <math>\vec{u}=(2,1)\, , \ \vec{v}=(a,-1) \ y \ \vec{z}=(1,b)</math>. Halla "a" y "b" en los siguientes casos:
:a) <math>\vec{z}=8\vec{u}-5\vec{v}</math> :a) <math>\vec{z}=8\vec{u}-5\vec{v}</math>
Línea 263: Línea 263:
|titulo1=Ejercicios 5 |titulo1=Ejercicios 5
|duracion=13´40" |duracion=13´40"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/0802-dos-ejercicios-4#.VC2a0xa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=f11bQYqoUUA&index=17&list=PL811F7AF8E8EC9655
|sinopsis=*Demostración de que dados dos vectores {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{x}</math>}} e {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{y}</math>}}, con distintas direcciones, cualquier vector del plano, {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, se puede poner como combinación lineal de ellos. |sinopsis=*Demostración de que dados dos vectores {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{x}</math>}} e {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{y}</math>}}, con distintas direcciones, cualquier vector del plano, {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, se puede poner como combinación lineal de ellos.
*Ejercicio: Si <math>\vec{u}=(2,1)</math>, <math>\vec{v}(3,-4)</math> y <math>\vec{z}=(1,6)</math>, expresa <math>\vec{z}</math> como combinación lineal de los otros dos vectores. *Ejercicio: Si <math>\vec{u}=(2,1)</math>, <math>\vec{v}(3,-4)</math> y <math>\vec{z}=(1,6)</math>, expresa <math>\vec{z}</math> como combinación lineal de los otros dos vectores.

Revisión de 09:52 29 jun 2017

Tabla de contenidos

(Pág. 174)

Base de vectores en el plano

ejercicio

Proposición


  • Dados dos vectores \vec{x} e \vec{y}, con distintas direcciones, cualquier vector del plano, \vec{v}, se puede poner como combinación lineal de ellos:

\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{y}

  • Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números a\, y b\, para los que se cumple la igualdad anterior.

Estos resultados permiten dar la siguiente definición:

Se llama base de un conjunto de vectores del plano a dos vectores \vec{x} e \vec{y}, con distintas direcciones. La representaremos por B(\vec{x},\vec{y}).

De esta manera, los resultados anteriores se pueden reenunciar de la siguiente manera:

ejercicio

Teorema de la base


Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.

Base ortogonal y ortonormal

Si los dos vectores de una base del plano son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además ambos tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal.

Base canónica de los vectores del plano

La base canónica de los vectores del plano es la formada por los vectores \vec{i}=(1,0) y \vec{j}=(0,1). Se trata de una base ortonormal.

Coordenadas de un vector respecto de una base

Dada una base del plano B(\vec{x},\vec{y}), por el teorema de la base, sabemos que cualquier vector \vec{v} se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base, de forma única:

\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{y}
  • Al par de números (a,b)\, los llamaremos las coordenadas del vector \vec{v} respecto de la base B(\vec{x},\vec{y}). Lo expresaremos \vec{v}=(a,b), o bien, \vec{v}(a,b).
  • Las coordenadas de los vectores de la base son \vec{x}(1,0) e \vec{y}(0,1), ya que \vec{x}=1 \vec{x}+0 \vec{y} y \vec{y}=0 \vec{x}+1 \vec{y}.

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Sean \vec{u}=(x_1,y_1) y \vec{v}=(x_2,y_2) dos vectores del plano:

  • Suma de vectores: \vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)
  • Producto por un número k: k \vec{u}=(k \, x_1,k \, y_1)
  • Combinación lineal: a \vec{u}+b \vec{v}=(a \, x_1+ b \, x_2, a \, y_1+b \, y_2)

(Pág. 175)

ejercicio

Ejercicios resueltos: Operaciones con vectores dados por coordenadas


1. Sean \vec{u}=(2,3) y \vec{v}=(5,-2). Halla y comprueba gráficamente que:

a) 3 \, \vec{u} = (6,9)
b) \vec{u}+\vec{v} = (7,1)

2. Sean \vec{u}=(0,-1), \vec{v}=(-1,0) y \vec{w}=(2,-3).

Calcula "a" y "b" para que \vec{w}=a\, \vec{u} + b\, \vec{v}.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Coordenadas de un vector


(Pág. 175)

1b,c

1a,b

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda