Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)
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| }} | }} | ||
| + | __TOC__ | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| + | (Pág. 172) | ||
| ==Vectores== | ==Vectores== | ||
| + | Los siguientes vídeos sirven de introducción a los conceptos que vamos a ver a lo largo de esta página. | ||
| + | {{p}} | ||
| + | {{Video_enlace_pablo | ||
| + | |titulo1=Introducción al concepto de vector | ||
| + | |duracion=6´11" | ||
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| + | |sinopsis=Vídeo que nos introduce el concepto de vector con un ejemplo gráfico que representa el desplazamiento de una persona a lo largo de un plano. | ||
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| + | |titulo1=Vector fijo y vector libre | ||
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| + | |sinopsis=Conceptos de vector fijo y vector libre del plano. | ||
| + | '''Nota:''' En el vídeo se habla de las coordenadas del vector que une dos puntos que se estudiarán en otro tema. | ||
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| + | {{Video_enlace_pablo | ||
| + | |titulo1=Módulo y dirección de un vector | ||
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| + | |sinopsis=Cálculo del módulo de un vector. | ||
| + | '''Nota:''' La obtención de la fórmula del módulo de un vector se estudiará en otro tema. | ||
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| + | {{p}} | ||
| ===Vectores fijos=== | ===Vectores fijos=== | ||
| {{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:vector_fijo.jpg|250px]]</center>|celda1={{Caja_Amarilla|texto= | {{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:vector_fijo.jpg|250px]]</center>|celda1={{Caja_Amarilla|texto= | ||
| Línea 16: | Línea 41: | ||
| *El '''módulo''' del vector {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}} es la longitud del segmento {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overline{AB}</math>}}, se representa por {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>|\overrightarrow{AB}|</math>}}. | *El '''módulo''' del vector {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}} es la longitud del segmento {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overline{AB}</math>}}, se representa por {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>|\overrightarrow{AB}|</math>}}. | ||
| *La '''dirección''' del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas. | *La '''dirección''' del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas. | ||
| - | *Cada dirección admite dos '''sentidos''' opuestos: el que va de '''A''' a '''B''' y el que va de '''B''' a '''A'''. | + | *Cada dirección admite dos '''sentidos''' opuestos: el que va de '''A''' a '''B''' y el que va de '''B''' a '''A'''. Gráficamente se representa con una punta de flecha. |
| }} | }} | ||
| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | ===Vectores opuestos=== | ||
| - | {{Tabla75|celda2=<center>'''Vectores opuestos: {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}</math>}}'''<br>[[Imagen:vectores_opuestos.gif|150px]]</center> | ||
| - | |celda1={{Caja_Amarilla|texto= | ||
| - | Dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, son '''opuestos''' si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}</math>}}. | ||
| - | }} | ||
| - | }} | ||
| - | |||
| ===Vectores equipolentes. Vectores libres=== | ===Vectores equipolentes. Vectores libres=== | ||
| - | {{Tabla75|celda2=<center>'''Vectores equipolentes'''<br>[[Imagen:vectores_equipolentes.gif|150px]]<br><math>\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}</math></center>|celda1={{Caja_Amarilla|texto= | + | {{Tabla75|celda2=<center>'''Vectores equipolentes'''<br>[[Imagen:vectores_equipolentes.gif|150px]]<br><math>\vec{u}=\vec{v}=\vec{w}</math></center>|celda1={{Caja_Amarilla|texto= |
| - | Dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, son '''equipolentes''' cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}</math>}} | + | Dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{AB}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{CD}</math>}}, son '''equipolentes''' cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{AB}=\vec{CD}</math>}} |
| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| {{Caja_Amarilla|texto= | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
| - | Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como '''representante''' del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama '''vector libre'''. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u} \, , \overrightarrow{v} \, , ...</math>}} | + | Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como '''representante''' del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama '''vector libre'''. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u} \, , \vec{v} \, , ...</math>}} |
| }} | }} | ||
| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Vectores''|cuerpo= | + | {{Geogebra_enlace |
| - | {{ai_cuerpo | + | |descripcion=En esta escena podrás ver un conjunto de vectores equipolentes. |
| - | |enunciado='''Actividad 1:''' Módulo, dirección y sentido de un vector fijo. | + | |enlace=[http://ggbm.at/YF5N7HbP Vectores equipolentes] |
| + | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | |actividad=En la escena puedes ver varios vectores fijos. | ||
| - | |||
| - | #¿Cuáles de ellos crees que tienen la misma dirección? (Para comprobarlo puedes pulsar el botón azul del "control" rectas.) | ||
| - | #De los que tienen la misma dirección ¿cuáles tienen el mismo sentido? | ||
| - | #Te parece que hay vectores en la escena con el mismo módulo? | ||
| - | #Dibuja en tu cuaderno varios vectores fijos. | ||
| - | |||
| - | <center><iframe> | ||
| - | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_1.html | ||
| - | width=430 | ||
| - | height=390 | ||
| - | name=myframe | ||
| - | </iframe></center> | ||
| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=Cuenta los vectores libres que hay en la escena. | ||
| + | |enlace=[http://ggbm.at/V5X2aahg Vectores libres] | ||
| }} | }} | ||
| - | {{ai_cuerpo | ||
| - | |enunciado='''Actividad 2:''' Vectores equipolentes. | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | |actividad=Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes. | ||
| - | |||
| - | #Comprueba si los vectores <math>\overrightarrow{AB}</math> y <math>\overrightarrow{CD}</math> son equipolentes. Para ello pincha y arrastra los puntitos amarillos que ves en A y B. | ||
| - | #Comprueba si los vectores <math>\overrightarrow{EF}</math> y <math>\overrightarrow{GH}</math> son equipolentes. | ||
| - | #Dibuja en tu cuaderno dos vectores que sean equipolentes y otros dos que no lo sean, dibujando , para demostrarlo, los polígonos correspondientes | ||
| - | |||
| - | <center><iframe> | ||
| - | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_2.html | ||
| - | width=430 | ||
| - | height=390 | ||
| - | name=myframe | ||
| - | </iframe></center> | ||
| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
| + | ===Vector nulo=== | ||
| + | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
| + | El '''vector nulo''' es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{0}</math>}}. | ||
| }} | }} | ||
| - | {{ai_cuerpo | ||
| - | |enunciado='''Actividad 3:''' Vectores libres. | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | |actividad= | ||
| - | Encierra en cada caja los vectores que te parezcan equipolentes al que ya está dentro. (Para ello pincha y arrastra el puntito negro que ves en el origen de cada vector. Puedes usar el zoom si lo necesitas.) | ||
| - | |||
| - | ¿Cuántos vectores libres se obtienen? | ||
| - | |||
| - | <center><iframe> | ||
| - | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_3.html | ||
| - | width=520 | ||
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| - | name=myframe | ||
| - | </iframe></center> | ||
| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
| + | ===Vectores opuestos=== | ||
| + | {{Tabla75|celda2=<center>'''Vectores opuestos: {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{u}=-\vec{v}</math>}}'''<br>[[Imagen:vectores_opuestos.gif|150px]]</center> | ||
| + | |celda1={{Caja_Amarilla|texto= | ||
| + | Dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, son '''opuestos''' si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}=-\vec{v}</math>}}. | ||
| }} | }} | ||
| }} | }} | ||
| Línea 96: | Línea 82: | ||
| ==Operaciones con vectores== | ==Operaciones con vectores== | ||
| - | + | {{Video_enlace_tutomate | |
| + | |titulo1=Operaciones con vectores | ||
| + | |duracion=5´24" | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=nJjpbLps-qY | ||
| + | |sinopsis= | ||
| + | *Suma y resta de vectores (método gráfico). | ||
| + | *Multiplicación de un vector por un escalar (método gráfico). | ||
| + | *Ejemplos y ejercicios. | ||
| + | }} | ||
| ===Producto de un vector por un número=== | ===Producto de un vector por un número=== | ||
| - | {{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:vectordoble.gif|250px]]<br><math>\overrightarrow{v}=2 \overrightarrow{u} \qquad \overrightarrow{w}=- \frac{1}{2} \overrightarrow{u}</math></center>|celda1= | + | {{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:vectordoble.gif|250px]]<br><math>\vec{v}=2 \vec{u} \qquad \vec{w}=- \frac{1}{2} \vec{u}</math></center>|celda1= |
| - | {{Caja_Amarilla|texto=El '''producto de un número real <math>k\,</math> por un vector''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} es otro vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>k\overrightarrow{v}</math>}} que tiene las siguientes características: | + | {{Caja_Amarilla|texto=El '''producto de un número real <math>k\,</math> por un vector''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} es otro vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>k\vec{v}</math>}} que tiene las siguientes características: |
| - | *'''Módulo:''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>|k\overrightarrow{v}|=|k| \cdot |\overrightarrow{v}|</math>}} (<math>|k|\,</math> es el valor absoluto del número real <math>k\,</math>) | + | *'''Módulo:''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>|k\vec{v}|=|k| \cdot |\vec{v}|</math>}} (<math>|k|\,</math> es el valor absoluto del número real <math>k\,</math>) |
| - | *'''Dirección:''' la misma que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}. | + | *'''Dirección:''' la misma que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}. |
| - | *'''Sentido:''' el mismo que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} si <math>k>0\,</math> y opuesto si <math>k<0\,</math>. | + | *'''Sentido:''' el mismo que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} si <math>k>0\,</math> y opuesto si <math>k<0\,</math>. |
| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=En esta escena podrás ver como se multiplica un vector por un número o escalar. | ||
| + | |enlace=[http://ggbm.at/nPuNPbHQ Producto de un vector por un número] | ||
| }} | }} | ||
| }} | }} | ||
| Línea 111: | Línea 110: | ||
| {{Tabla75|celda1= | {{Tabla75|celda1= | ||
| '''Suma de vectores:''' | '''Suma de vectores:''' | ||
| - | {{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, su '''suma''' es otro vector, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}</math>}}, que tiene como origen el origen de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y por el extremo, el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}. | + | {{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, para sumarlos se elige un representante del vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} que tenga como origen el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}}. De esta manera el vector '''suma''' será otro vector, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u} + \vec{v}</math>}}, que tendrá como origen el origen de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y por el extremo, el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}. |
| }} | }} | ||
| - | |celda2=<center>[[Imagen:sumavectores.gif|250px]]</center> | + | {{p}} |
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=En esta escena podrás ver como se suman vectores. | ||
| + | |enlace=[http://ggbm.at/kSxka7h5 Suma de vectores] | ||
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| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| {{Tabla75|celda1= | {{Tabla75|celda1= | ||
| '''Resta de vectores:''' | '''Resta de vectores:''' | ||
| - | {{Caja_Amarilla|texto=Para '''restar''' dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, sumamos al vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} el opuesto de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}. Es decir, <math>\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} + (- \overrightarrow{v})</math>. | + | {{Caja_Amarilla|texto=Para '''restar''' dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, sumamos al vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} el opuesto de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}. Es decir, <math>\vec{u} - \vec{v}=\vec{u} + (- \vec{v})</math>. |
| }} | }} | ||
| - | |celda2=<center>[[Imagen:restavectores.gif|250px]]</center> | + | {{p}} |
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=En esta escena podrás ver como se restan vectores. | ||
| + | |enlace=[http://ggbm.at/bhsphdTM Resta de vectores] | ||
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| + | |celda2=<center>[[Imagen:restavectores.gif|225px]]</center> | ||
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| {{p}} | {{p}} | ||
| {{Tabla75|celda1= | {{Tabla75|celda1= | ||
| '''Método del paralelogramo:''' | '''Método del paralelogramo:''' | ||
| - | {{Caja_Amarilla|texto=Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente. | + | {{Caja_Amarilla|texto=Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente. |
| }} | }} | ||
| - | |celda2=<center>[[Imagen:sumarestavectores.gif|250px]]</center> | + | {{p}} |
| + | |||
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| + | |descripcion=En esta escena podrás ver como se suman vectores por dos métodos geométricos. | ||
| + | |enlace=[http://ggbm.at/Rx4qrehF Suma de vectores (2 métodos)] | ||
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| + | {{p}} | ||
| ===Combinación lineal de vectores=== | ===Combinación lineal de vectores=== | ||
| + | {{Tabla75|celda1= | ||
| + | {{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y <math>a,b \in \mathbb{R}</math>, el vector <math>\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}</math> se dice que es una '''combinación lineal''' de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}. | ||
| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} es combinación lineal de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, siendo los coeficientes <math>a=3\,</math> y <math>b=2\,</math>. | ||
| + | La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, el vector | ||
| + | {{p}} | ||
| + | <center><math>\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}+ c \cdot \vec{v} \quad (a,b,c \in \mathbb{R})</math></center> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | es combinación lineal de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}}, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{z}</math>}}. | ||
| + | |||
| + | <center></center> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=En esta escena podrás ver como se expresa un vector como combinación lineal de otros dos. | ||
| + | |enlace=[http://ggbm.at/b5AWSRCX Combinación lineal de vectores] | ||
| + | }} | ||
| + | |celda2=<center>[[Imagen:combilinealvectores.png|300px]]</center> | ||
| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | ===Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos=== | ||
| + | {{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado= | ||
| + | Para expresar gráficamente el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} como combinación lineal de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>(\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v})</math>}} | ||
| + | |||
| + | *Colocamos los tres vectores partiendo de un mismo punto. | ||
| + | *A continuación, por el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} trazamos paralelas a los otros dos vectores. | ||
| + | *Donde estas paralelas corten a las prolongaciones de los vectores, tenemos los extremos del vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a \cdot \vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>b \cdot \vec{v}</math>}}. | ||
| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=En esta escena podrás ver como se expresa gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos. | ||
| + | |enlace=[http://ggbm.at/jgZfCbpS Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos] | ||
| + | }} | ||
| [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | ||
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Tabla de contenidos |
(Pág. 172)
[editar]
Vectores
Los siguientes vídeos sirven de introducción a los conceptos que vamos a ver a lo largo de esta página.
Introducción al concepto de vector (6´11") Sinopsis:Vídeo que nos introduce el concepto de vector con un ejemplo gráfico que representa el desplazamiento de una persona a lo largo de un plano.
Vector fijo y vector libre (9´53") Sinopsis:Conceptos de vector fijo y vector libre del plano. Nota: En el vídeo se habla de las coordenadas del vector que une dos puntos que se estudiarán en otro tema.
Módulo y dirección de un vector (5´12") Sinopsis:Cálculo del módulo de un vector. Nota: La obtención de la fórmula del módulo de un vector se estudiará en otro tema.
[editar]
Vectores fijos
Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos Características de un vector:
|  |
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Vectores equipolentes. Vectores libres
Dos vectores, Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: | Vectores equipolentes
  |
Vectores equipolentes Descripción: En esta escena podrás ver un conjunto de vectores equipolentes.
Vectores libres Descripción: Cuenta los vectores libres que hay en la escena.
[editar]
Vector nulo
El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos 
.
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Vectores opuestos
Dos vectores, | Vectores opuestos:
  |
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Operaciones con vectores
Operaciones con vectores (5´24") Sinopsis:- Suma y resta de vectores (método gráfico).
- Multiplicación de un vector por un escalar (método gráfico).
- Ejemplos y ejercicios.
[editar]
Producto de un vector por un número
El producto de un número real
Producto de un vector por un número Descripción: En esta escena podrás ver como se multiplica un vector por un número o escalar. |   |
por un vector 
es el valor absoluto del número real 
y opuesto si 
.
[editar]
Suma y resta de vectores
| Suma de vectores:
Dados dos vectores Suma de vectores Descripción: En esta escena podrás ver como se suman vectores. |  |
| Resta de vectores:
Para restar dos vectores Resta de vectores Descripción: En esta escena podrás ver como se restan vectores. |  |
.
| Método del paralelogramo:
Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores Suma de vectores (2 métodos) Descripción: En esta escena podrás ver como se suman vectores por dos métodos geométricos. |  |
[editar]
Combinación lineal de vectores
Dados dos vectores En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, el vector  es combinación lineal de Combinación lineal de vectores Descripción: En esta escena podrás ver como se expresa un vector como combinación lineal de otros dos. |  |
, el vector 
se dice que es una combinación lineal de 
y 
.
[editar]
Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos
Procedimiento
Para expresar gráficamente el vector 
como combinación lineal de los vectores 
y 
- Colocamos los tres vectores partiendo de un mismo punto.
- A continuación, por el extremo de trazamos paralelas a los otros dos vectores.
- Donde estas paralelas corten a las prolongaciones de los vectores, tenemos los extremos del vector
y 
.
En esta escena podrás ver como se expresa gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos.
