Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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-|repasar=+|repasar=[[Vectores en el plano (4ºESO Académicas)|Vectores 4º ESO]]
|enlaces= |enlaces=
}} }}
 +__TOC__
{{p}} {{p}}
 +(Pág. 172)
==Vectores== ==Vectores==
 +Los siguientes vídeos sirven de introducción a los conceptos que vamos a ver a lo largo de esta página.
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_pablo
 +|titulo1=Introducción al concepto de vector
 +|duracion=6´11"
 +|url1=https://youtu.be/LYdAZEdymSM?list=PLDofgcGDlFDP3PLa5X06SC7w-njU6albc
 +|sinopsis=Vídeo que nos introduce el concepto de vector con un ejemplo gráfico que representa el desplazamiento de una persona a lo largo de un plano.
 +}}
 +{{Video_enlace_pablo
 +|titulo1=Vector fijo y vector libre
 +|duracion=9´53"
 +|url1=https://youtu.be/hu5D7Y5M9qo?list=PLDofgcGDlFDP3PLa5X06SC7w-njU6albc
 +|sinopsis=Conceptos de vector fijo y vector libre del plano.
 +'''Nota:''' En el vídeo se habla de las coordenadas del vector que une dos puntos que se estudiarán en otro tema.
 +}}
 +{{Video_enlace_pablo
 +|titulo1=Módulo y dirección de un vector
 +|duracion=5´12"
 +|url1=https://youtu.be/adGdcuWRoDA?list=PLDofgcGDlFDP3PLa5X06SC7w-njU6albc
 +|sinopsis=Cálculo del módulo de un vector.
 +'''Nota:''' La obtención de la fórmula del módulo de un vector se estudiará en otro tema.
 +}}
 +{{p}}
===Vectores fijos=== ===Vectores fijos===
{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:vector_fijo.jpg|250px]]</center>|celda1={{Caja_Amarilla|texto= {{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:vector_fijo.jpg|250px]]</center>|celda1={{Caja_Amarilla|texto=
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}} }}
{{p}} {{p}}
- 
-===Vector nulo=== 
-{{Caja_Amarilla|texto= 
-El '''vector nulo''' es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{0}</math>}}. 
-}} 
-{{p}} 
- 
-===Vectores opuestos=== 
-{{Tabla75|celda2=<center>'''Vectores opuestos: {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}</math>}}'''<br>[[Imagen:vectores_opuestos.gif|150px]]</center> 
-|celda1={{Caja_Amarilla|texto= 
-Dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, son '''opuestos''' si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}</math>}}. 
-}} 
-}} 
- 
===Vectores equipolentes. Vectores libres=== ===Vectores equipolentes. Vectores libres===
-{{Tabla75|celda2=<center>'''Vectores equipolentes'''<br>[[Imagen:vectores_equipolentes.gif|150px]]<br><math>\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}</math></center>|celda1={{Caja_Amarilla|texto=+{{Tabla75|celda2=<center>'''Vectores equipolentes'''<br>[[Imagen:vectores_equipolentes.gif|150px]]<br><math>\vec{u}=\vec{v}=\vec{w}</math></center>|celda1={{Caja_Amarilla|texto=
-Dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, son '''equipolentes''' cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}</math>}}+Dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{AB}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{CD}</math>}}, son '''equipolentes''' cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{AB}=\vec{CD}</math>}}
}} }}
{{p}} {{p}}
{{Caja_Amarilla|texto= {{Caja_Amarilla|texto=
-Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como '''representante''' del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama '''vector libre'''. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u} \, , \overrightarrow{v} \, , ...</math>}}+Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como '''representante''' del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama '''vector libre'''. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u} \, , \vec{v} \, , ...</math>}}
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI_enlace+{{Geogebra_enlace
-|titulo1=Actividad 1: ''Módulo, dirección y sentido de un vector fijo''+|descripcion=En esta escena podrás ver un conjunto de vectores equipolentes.
-|descripcion=En la escena puedes ver varios vectores fijos. +|enlace=[http://ggbm.at/YF5N7HbP Vectores equipolentes]
- +}}
-#¿Cuáles de ellos crees que tienen la misma dirección? (Para comprobarlo puedes pulsar el botón azul del "control" rectas.)+{{p}}
-#De los que tienen la misma dirección ¿cuáles tienen el mismo sentido? +
-#Te parece que hay vectores en la escena con el mismo módulo? +
- +{{Geogebra_enlace
-<center><iframe>+|descripcion=Cuenta los vectores libres que hay en la escena.
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_1.html+|enlace=[http://ggbm.at/V5X2aahg Vectores libres]
-width=430+
-height=390+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_1.html+
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI_enlace 
-|titulo1=Actividad 2: Vectores equipolentes 
-|descripcion=Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes.  
-#Comprueba si los vectores <math>\overrightarrow{AB}</math> y <math>\overrightarrow{CD}</math> son equipolentes. Para ello pincha y arrastra los puntitos amarillos que ves en A y B. +===Vector nulo===
-#Comprueba si los vectores <math>\overrightarrow{EF}</math> y <math>\overrightarrow{GH}</math> son equipolentes. +{{Caja_Amarilla|texto=
-#Dibuja en tu cuaderno dos vectores que sean equipolentes y otros dos que no lo sean, dibujando , para demostrarlo, los polígonos correspondientes+El '''vector nulo''' es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{0}</math>}}.
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_2.html+
-width=430+
-height=390+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_2.html+
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI_enlace 
-|titulo1=Actividad 3: Vectores libres 
-|descripcion=Encierra en cada caja los vectores que te parezcan equipolentes al que ya está dentro. (Para ello pincha y arrastra el puntito negro que ves en el origen de cada vector. Puedes usar el zoom si lo necesitas.) 
-¿Cuántos vectores libres se obtienen?+===Vectores opuestos===
- +{{Tabla75|celda2=<center>'''Vectores opuestos: {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{u}=-\vec{v}</math>}}'''<br>[[Imagen:vectores_opuestos.gif|150px]]</center>
-<center><iframe>+|celda1={{Caja_Amarilla|texto=
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_3.html+Dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, son '''opuestos''' si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}=-\vec{v}</math>}}.
-width=540+}}
-height=440+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_3.html+
}} }}
{{p}} {{p}}
==Operaciones con vectores== ==Operaciones con vectores==
- +{{Video_enlace_tutomate
 +|titulo1=Operaciones con vectores
 +|duracion=5´24"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=nJjpbLps-qY
 +|sinopsis=
 +*Suma y resta de vectores (método gráfico).
 +*Multiplicación de un vector por un escalar (método gráfico).
 +*Ejemplos y ejercicios.
 +}}
===Producto de un vector por un número=== ===Producto de un vector por un número===
-{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:vectordoble.gif|250px]]<br><math>\overrightarrow{v}=2 \overrightarrow{u} \qquad \overrightarrow{w}=- \frac{1}{2} \overrightarrow{u}</math></center>|celda1=+{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:vectordoble.gif|250px]]<br><math>\vec{v}=2 \vec{u} \qquad \vec{w}=- \frac{1}{2} \vec{u}</math></center>|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=El '''producto de un número real <math>k\,</math> por un vector''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} es otro vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>k\overrightarrow{v}</math>}} que tiene las siguientes características:+{{Caja_Amarilla|texto=El '''producto de un número real <math>k\,</math> por un vector''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} es otro vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>k\vec{v}</math>}} que tiene las siguientes características:
-*'''Módulo:''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>|k\overrightarrow{v}|=|k| \cdot |\overrightarrow{v}|</math>}} (<math>|k|\,</math> es el valor absoluto del número real <math>k\,</math>)+*'''Módulo:''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>|k\vec{v}|=|k| \cdot |\vec{v}|</math>}} (<math>|k|\,</math> es el valor absoluto del número real <math>k\,</math>)
-*'''Dirección:''' la misma que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}.+*'''Dirección:''' la misma que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}.
-*'''Sentido:''' el mismo que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} si <math>k>0\,</math> y opuesto si <math>k<0\,</math>.+*'''Sentido:''' el mismo que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} si <math>k>0\,</math> y opuesto si <math>k<0\,</math>.
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Producto de un vector por un número''|cuerpo=+{{Geogebra_enlace
-{{ai_cuerpo+|descripcion=En esta escena podrás ver como se multiplica un vector por un número o escalar.
-|enunciado='''Actividad 1:''' En esta escena representaremos el producto de un vector por un número.+|enlace=[http://ggbm.at/nPuNPbHQ Producto de un vector por un número]
- +
-{{p}}+
-|actividad=+
-Mueve los puntos azules y observa los cambios.+
- +
-¿Qué relación encuentras entre los vectores {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>3 \overrightarrow{u}</math>}}? +
-Mueve ahora el punto verde y observa.+
- +
-¿Qué relación encuentras entre los vectores {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>k \overrightarrow{u}</math>}}, siendo <math>k\,</math> un número positivo cualquiera? +
-¿Y qué ocurre cuando <math>k\,</math> es negativo o 0? +
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_prod_por_escalar1.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_prod_por_escalar1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
 +
===Suma y resta de vectores=== ===Suma y resta de vectores===
{{Tabla75|celda1= {{Tabla75|celda1=
'''Suma de vectores:''' '''Suma de vectores:'''
-{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, su '''suma''' es otro vector, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}</math>}}, que tiene como origen el origen de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y por el extremo, el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}.+{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, para sumarlos se elige un representante del vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} que tenga como origen el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}}. De esta manera el vector '''suma''' será otro vector, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u} + \vec{v}</math>}}, que tendrá como origen el origen de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y por el extremo, el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}.
-}}+
-|celda2=<center>[[Imagen:sumavectores.gif|225px]]</center>+
}} }}
{{p}} {{p}}
{{Geogebra_enlace {{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás ver como se suman vectores por dos métodos geométricos.+|descripcion=En esta escena podrás ver como se suman vectores.
-|enlace=[https://ggbm.at/Rx4qrehF Suma de vectores (2 métodos)]+|enlace=[http://ggbm.at/kSxka7h5 Suma de vectores]
 +}}
 +|celda2=<center>[[Imagen:sumavectores.gif|225px]]</center>
}} }}
{{p}} {{p}}
- 
{{Tabla75|celda1= {{Tabla75|celda1=
'''Resta de vectores:''' '''Resta de vectores:'''
-{{Caja_Amarilla|texto=Para '''restar''' dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, sumamos al vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} el opuesto de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}. Es decir, <math>\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} + (- \overrightarrow{v})</math>.+{{Caja_Amarilla|texto=Para '''restar''' dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, sumamos al vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} el opuesto de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}. Es decir, <math>\vec{u} - \vec{v}=\vec{u} + (- \vec{v})</math>.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se restan vectores.
 +|enlace=[http://ggbm.at/bhsphdTM Resta de vectores]
}} }}
|celda2=<center>[[Imagen:restavectores.gif|225px]]</center> |celda2=<center>[[Imagen:restavectores.gif|225px]]</center>
Línea 156: Línea 134:
{{Tabla75|celda1= {{Tabla75|celda1=
'''Método del paralelogramo:''' '''Método del paralelogramo:'''
-{{Caja_Amarilla|texto=Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.+{{Caja_Amarilla|texto=Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.
}} }}
-|celda2=<center>[[Imagen:sumarestavectores.gif|225px]]</center>+{{p}}
-}}{{p}}+ 
{{Geogebra_enlace {{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás ver como se suman y restan vectores.+|descripcion=En esta escena podrás ver como se suman vectores por dos métodos geométricos.
-|enlace=[https://ggbm.at/kds6Sny7 Suma y resta de vectores]+|enlace=[http://ggbm.at/Rx4qrehF Suma de vectores (2 métodos)]
 +}}
 + 
 +|celda2=<center>[[Imagen:sumarestavectores.gif|225px]]</center>
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 168: Línea 149:
===Combinación lineal de vectores=== ===Combinación lineal de vectores===
{{Tabla75|celda1= {{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, otro vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}} es '''combinación lineal''' de ellos si podemos encontrar dos números reales '''a''' y '''b''' tales que +{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y <math>a,b \in \mathbb{R}</math>, el vector <math>\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}</math> se dice que es una '''combinación lineal''' de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}.
- +
-<center><math>\overrightarrow{w}=a \cdot \overrightarrow{u}+ b \cdot \overrightarrow{v}</math></center>+
- +
}} }}
{{p}} {{p}}
-En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}} es combinación lineal de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, siendo los coeficientes <math>a=3\,</math> y <math>b=2\,</math>.+En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} es combinación lineal de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, siendo los coeficientes <math>a=3\,</math> y <math>b=2\,</math>.
-La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, un vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}} es combinación lineal de otros tres {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}}, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{z}</math>}} si podemos encontrar 3 números reales '''a''', '''b''' y '''c''' tales que+La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, el vector
 +{{p}}
 +<center><math>\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}+ c \cdot \vec{v} \quad (a,b,c \in \mathbb{R})</math></center>
 +{{p}}
 +es combinación lineal de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}}, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{z}</math>}}.
-<center><math>\overrightarrow{w}=a \cdot \overrightarrow{u}+ b \cdot \overrightarrow{v}+ c \cdot \overrightarrow{v}</math></center>+<center></center>
{{p}} {{p}}
- +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se expresa un vector como combinación lineal de otros dos.
 +|enlace=[http://ggbm.at/b5AWSRCX Combinación lineal de vectores]
 +}}
|celda2=<center>[[Imagen:combilinealvectores.png|300px]]</center> |celda2=<center>[[Imagen:combilinealvectores.png|300px]]</center>
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Combinación lineal de vectores''|cuerpo=+===Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos===
-{{ai_cuerpo+{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la escena siguiente tienes el vector <math>\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}</math>. Se dice entonces que el vector {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}}es combinación lineal de {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}.+Para expresar gráficamente el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} como combinación lineal de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>(\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v})</math>}}
-{{p}}+
-|actividad= +
-<center><iframe>+*Colocamos los tres vectores partiendo de un mismo punto.
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl1_1.html+*A continuación, por el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} trazamos paralelas a los otros dos vectores.
-width=780+*Donde estas paralelas corten a las prolongaciones de los vectores, tenemos los extremos del vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a \cdot \vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>b \cdot \vec{v}</math>}}.
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-Mueve los puntos verdes hasta visualizar:+
- +
-* <math>5 \overrightarrow{u} -2 \overrightarrow{v}</math>+
-* <math>-2 \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}</math>+
-* <math>\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}</math>+
- +
-Puedes mover los puntos azules de los vectores para cambiarlos.+
}} }}
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 2:''' En la escena siguiente vas a expresar un vector como combinación lineal de otros dos. 
{{p}} {{p}}
-|actividad=Mueve los puntos verdes hasta que el vector rojo coincida exactamente con el amarillo: pon {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}} como combinación lineal de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}+{{Geogebra_enlace
- +|descripcion=En esta escena podrás ver como se expresa gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos.
- +|enlace=[http://ggbm.at/jgZfCbpS Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos]
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl2_1.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl2_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 3:''' En la escena siguiente vas a ver como se construye un vector como combinación lineal de otros dos.+
-{{p}}+
-|actividad={{p}}+
-#Desliza el punto verde lentamente y observa los cambios.+
-#Devuelve el deslizador a su posición original, cambia los tres vectores y vuelve a usar el deslizador+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl3.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
-}}+
}} }}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 172)

Vectores

Los siguientes vídeos sirven de introducción a los conceptos que vamos a ver a lo largo de esta página.

Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos \overrightarrow{AB}.

Características de un vector:

  • El módulo del vector \overrightarrow{AB} es la longitud del segmento \overline{AB}, se representa por |\overrightarrow{AB}|.
  • La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas.
  • Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va de A a B y el que va de B a A. Gráficamente se representa con una punta de flecha.

Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, \vec{AB} y \vec{CD}, son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos \vec{AB}=\vec{CD}

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: \vec{u} \, , \vec{v} \, , ...

Vectores equipolentes

\vec{u}=\vec{v}=\vec{w}

Vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos \vec{0}.

Vectores opuestos

Dos vectores, \vec{u} y \vec{v}, son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos \vec{u}=-\vec{v}.

Vectores opuestos: \vec{u}=-\vec{v}

Operaciones con vectores

Producto de un vector por un número

El producto de un número real k\, por un vector \vec{v} es otro vector k\vec{v} que tiene las siguientes características:

  • Módulo: |k\vec{v}|=|k| \cdot |\vec{v}| (|k|\, es el valor absoluto del número real k\,)
  • Dirección: la misma que \vec{v}.
  • Sentido: el mismo que \vec{v} si k>0\, y opuesto si k<0\,.


\vec{v}=2 \vec{u} \qquad \vec{w}=- \frac{1}{2} \vec{u}

Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

Dados dos vectores \vec{u} y \vec{v}, para sumarlos se elige un representante del vector \vec{v} que tenga como origen el extremo de \vec{u}. De esta manera el vector suma será otro vector, \vec{u} + \vec{v}, que tendrá como origen el origen de \vec{u} y por el extremo, el extremo de \vec{v}.

Resta de vectores:

Para restar dos vectores \vec{u} y \vec{v}, sumamos al vector \vec{u} el opuesto de \vec{v}. Es decir, \vec{u} - \vec{v}=\vec{u} + (- \vec{v}).

Método del paralelogramo:

Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores \vec{u} y \vec{v} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores \vec{u} y \vec{v} y a,b \in \mathbb{R}, el vector \vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v} se dice que es una combinación lineal de \vec{u} y \vec{v}.

En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector \vec{w} es combinación lineal de los vectores \vec{u} y \vec{v}, siendo los coeficientes a=3\, y b=2\,.

La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, el vector

\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}+ c \cdot \vec{v} \quad (a,b,c \in \mathbb{R})

es combinación lineal de \vec{u}, \vec{v} y \vec{z}.

Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos

ejercicio

Procedimiento


Para expresar gráficamente el vector \vec{w} como combinación lineal de los vectores \vec{u} y \vec{v} (\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v})

  • Colocamos los tres vectores partiendo de un mismo punto.
  • A continuación, por el extremo de \vec{w} trazamos paralelas a los otros dos vectores.
  • Donde estas paralelas corten a las prolongaciones de los vectores, tenemos los extremos del vector a \cdot \vec{u} y b \cdot \vec{v}.

Herramientas personales
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