Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Vectores fijos
2 Vectores opuestos
3 Vectores equipolentes. Vectores libres
4 Operaciones con vectores

Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos $\overrightarrow{AB}$ .

Características de un vector:

El módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ es la longitud del segmento $\overline{AB}$ , se representa por $|\overrightarrow{AB}|$ .
La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas.
Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va de A a B y el que va de B a A.

Vectores opuestos

Dos vectores, $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$ , son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos $\overrightarrow{A}=-\overrightarrow{B}$ .

Vectores opuestos: $\overrightarrow{A}=-\overrightarrow{B}$

Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$ , son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos $\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}$

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: $\overrightarrow{u} \, , \overrightarrow{v} \, , ...$

Vectores equipolentes

$\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}=\overrightarrow{C}=\overrightarrow{D}$

Actividad interactiva: Vectores

Actividad 1: Módulo, dirección y sentido de un vector fijo.

Actividad:

En la escena puedes ver varios vectores fijos.

¿Cuáles de ellos crees que tienen la misma dirección? (Para comprobarlo puedes pulsar el botón azul del "control" rectas.)
De los que tienen la misma dirección ¿cuáles tienen el mismo sentido?
Te parece que hay vectores en la escena con el mismo módulo?
Dibuja en tu cuaderno varios vectores fijos.

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Actividad 2: Vectores equipolentes.

Actividad:

Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes.

Comprueba si los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{CD}$ son equipolentes. Para ello pincha y arrastra los puntitos amarillos que ves en A y B.
Comprueba si los vectores $\overrightarrow{EF}$ y $\overrightarrow{GH}$ son equipolentes.
Dibuja en tu cuaderno dos vectores que sean equipolentes y otros dos que no lo sean, dibujando , para demostrarlo, los polígonos correspondientes

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Actividad 3: Vectores libres.

Actividad:

Encierra en cada caja los vectores que te parezcan equipolentes al que ya está dentro. (Para ello pincha y arrastra el puntito negro que ves en el origen de cada vector. Puedes usar el zoom si lo necesitas.)

¿Cuántos vectores libres se obtienen?

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Operaciones con vectores

Producto de un vector por un número

El producto de un número real $k\,$ por un vector $\overrightarrow{v}$ es otro vector $k\overrightarrow{v}$ que tiene las siguientes características:

Módulo: $|k\overrightarrow{v}|=|k| \cdot |\overrightarrow{v}|$ ( $|k|\,$ es el valor absoluto del número real $k\,$ )
Dirección: la misma que $\overrightarrow{v}$ .
Sentido: el mismo que $\overrightarrow{v}$ si $k>0\,$ y opuesto si $k<0\,$ .

$\overrightarrow{B}=2 \overrightarrow{A} \qquad \overrightarrow{C}=- \frac{1}{2} \overrightarrow{A}$

Suma y resta de vectores

Dados dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , su suma es otro vector, $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ , que tiene como origen el origen de $\overrightarrow{u}$ y por el extremo, el extremo de $\overrightarrow{v}$ .
Para restar dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , sumamos al vector $\overrightarrow{u}$ el opuesto de $\overrightarrow{v}$ . Es decir, $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} + (- \overrightarrow{v})$ .
Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.