Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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*El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. *El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
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De la misma manera se obtiene la otra relación: De la misma manera se obtiene la otra relación:
-<math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u})</math></center>+<math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}</math></center>
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Tabla de contenidos

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})

Propiedades del producto escalar

Perpendicularidad y producto escalar

ejercicio

Nulidad y perpendicularidad

  • Nulidad: Si cualquiera de los dos vectores, \overrightarrow{u} o \overrightarrow{v}, es \overrightarrow{0}, entonces \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0.
  • Perpendicularidad Dados dos vectores no nulos, \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, se cumple que
\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0
Demostración:
  • Nulidad: Esta propiedad es inmediata.
  • Perpendicularidad Si ambos vectores no son nulos, entonces, para que le productro escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.

Signo del producto escalar

ejercicio

Signo del producto escalar

El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

  • \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}>0 si \widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}} es agudo.
  • \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}<0 si \widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}} es obtuso.
Demostración:
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.

Operaciones con el producto escalar

ejercicio

Operaciones

  • Propiedad conmutativa: \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.
  • Propiedad asociativa: \lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v}).
  • Propiedad distributiva: \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}.
Demostración:
Ver demostración

Proyección de vectores y producto escalar

ejercicio

Proposición: Proyección de vectores

  • El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}
Demostración:

Si observamos el dibujo de la derecha, tenemos que

proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}|cos \, \alpha

Entonces

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| cos \, \alpha=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}

De la misma manera se obtiene la otra relación:

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}</center>

ejercicio

Corolarios

  • Proyección de \overrightarrow{u} sobre \overrightarrow{v}:
proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u})=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}
  • Proyecciones coincidentes: Si las proyecciones sobre \overrightarrow{v} de \overrightarrow{u_1} y de \overrightarrow{u_2} coinciden, entonces:
\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}
Demostración:
  • Corolario 1:
Es inmediato por la proposición anterior.
  • Corolario 2:
\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_1})=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_2})=\overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}

El producto escalar con bases ortonormales

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Producto_escalar_%281%C2%BABach%29"
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