Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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==Propiedades del producto escalar== ==Propiedades del producto escalar==
===Perpendicularidad y producto escalar=== ===Perpendicularidad y producto escalar===
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*'''Nulidad:''' Si cualquiera de los dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} o {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, es {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{0}</math>}}, entonces {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0</math>}}. *'''Nulidad:''' Si cualquiera de los dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} o {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, es {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{0}</math>}}, entonces {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0</math>}}.
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===Signo del producto escalar=== ===Signo del producto escalar===
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El '''signo del producto escalar''' queda determinado por el ángulo que forman los vectores: El '''signo del producto escalar''' queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
:*<math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}>0</math> si <math>\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}</math> es agudo. :*<math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}>0</math> si <math>\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}</math> es agudo.
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===Operaciones con el producto escalar=== ===Operaciones con el producto escalar===
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*'''Propiedad conmutativa:''' <math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}</math>. *'''Propiedad conmutativa:''' <math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}</math>.
*'''Propiedad asociativa:''' <math>\lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v})</math>. *'''Propiedad asociativa:''' <math>\lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v})</math>.
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 +siendo <math>\alpha= u, v</math>.
 +
 +Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea cos \, \alpha.
 +}}
 +{{p}}
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*El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. *El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
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<math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}</math></center> <math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}</math></center>
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}} }}
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*'''Corolario 2:''' *'''Corolario 2:'''
:<math>\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_1})=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_2})=\overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}</math> :<math>\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_1})=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_2})=\overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}</math>
-}} 
}} }}
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Revisión de 17:17 15 mar 2009

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Tabla de contenidos

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})

Propiedades del producto escalar

Perpendicularidad y producto escalar

ejercicio

Propiedades: nulidad y perpendicularidad

  • Nulidad: Si cualquiera de los dos vectores, \overrightarrow{u} o \overrightarrow{v}, es \overrightarrow{0}, entonces \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0.
  • Perpendicularidad Dados dos vectores no nulos, \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, se cumple que
\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0
Demostración:
  • Nulidad: Esta propiedad es inmediata.
  • Perpendicularidad Si ambos vectores no son nulos, entonces, para que le productro escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.

Signo del producto escalar

ejercicio

Propiedades: signo del producto escalar

El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

  • \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}>0 si \widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}} es agudo.
  • \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}<0 si \widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}} es obtuso.
Demostración:
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.

Operaciones con el producto escalar

ejercicio

Propiedades de las operaciones

  • Propiedad conmutativa: \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.
  • Propiedad asociativa: \lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v}).
  • Propiedad distributiva: \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}.
Demostración:
Ver demostración

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector u sobre el vector v, al número

proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad

siendo α = u,v.

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea cos \, \alpha.

ejercicio

Proposición: Proyección de vectores

  • El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}
Demostración:

Si observamos el dibujo de la derecha, tenemos que

proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}|cos \, \alpha

Entonces

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| cos \, \alpha=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}

De la misma manera se obtiene la otra relación:

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}</center>

ejercicio

Corolarios

  • Proyección de \overrightarrow{u} sobre \overrightarrow{v}:
proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u})=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}
  • Proyecciones coincidentes: Si las proyecciones sobre \overrightarrow{v} de \overrightarrow{u_1} y de \overrightarrow{u_2} coinciden, entonces:
\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}
Demostración:
  • Corolario 1:
Es inmediato por la proposición anterior.
  • Corolario 2:
\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_1})=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_2})=\overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}

El producto escalar con bases ortonormales

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Producto_escalar_%281%C2%BABach%29"
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