Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Producto escalar de vectores
2 Propiedades del producto escalar
3 El producto escalar con bases ortonormales
- 3.1 Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})$

Propiedades del producto escalar

Perpendicularidad y producto escalar

Propiedades: nulidad y perpendicularidad

Nulidad: Si cualquiera de los dos vectores, $\overrightarrow{u}$ o $\overrightarrow{v}$ , es $\overrightarrow{0}$ , entonces $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$ .

Perpendicularidad Dados dos vectores no nulos, $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , se cumple que

$\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$

Demostración:

Nulidad: Esta propiedad es inmediata.
Perpendicularidad Si ambos vectores no son nulos, entonces, para que le productro escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.

Signo del producto escalar

Propiedades: signo del producto escalar

El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}>0$ si $\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}$ es agudo.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}<0$ si $\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}$ es obtuso.

Demostración:

Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.

Operaciones con el producto escalar

Propiedades de las operaciones

Propiedad conmutativa: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$ .
Propiedad asociativa: $\lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v})$ .
Propiedad distributiva: $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$ .

Demostración:

Ver demostración

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector $\overrightarrow{v}$ sobre el vector $\overrightarrow{u}$ , al número

$proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad$

siendo $\alpha= \widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}$ .

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea $cos \, \alpha$ .

Proposición: Proyección de vectores

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}$

Demostración:

Si observamos el dibujo de la derecha, tenemos que

$proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}|cos \, \alpha$

Entonces

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| cos \, \alpha=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}$

De la misma manera se obtiene la otra relación:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}$ </center>

Corolarios

Proyección de $\overrightarrow{u}$ sobre $\overrightarrow{v}$ :

$proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}$

Proyecciones coincidentes: Si las proyecciones sobre $\overrightarrow{v}$ de $\overrightarrow{u_1}$ y de $\overrightarrow{u_2}$ coinciden, entonces:

$\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}$

Demostración:

Corolario 1:

Es inmediato por la proposición anterior.

Corolario 2:

$\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_1})=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u_2})=\overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}$

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

Proposición

Sea $B(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ una base ortonormal, entonces

$\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{i}=1 \qquad \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{j}=1 \qquad \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j}=0$

Demostración:

En efecto, al ser los vectores dela base unitarios y perpendiculares, tenemos:

$\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{i}=|\overrightarrow{i}| \, |\overrightarrow{i}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{i}, \, \overrightarrow{i}})=1 \cdot 1 \cdot 1=1$

$\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{j}=|\overrightarrow{j}| \, |\overrightarrow{j}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{j}, \, \overrightarrow{j}})=1 \cdot 1 \cdot 1=1$

$\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j}=|\overrightarrow{i}| \, |\overrightarrow{j}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{i}, \, \overrightarrow{j}})=1 \cdot 1 \cdot 0=0$

Proposición

Si las coordenadas de los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , respecto de una base otonormal $B(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ son $\overrightarrow{u}(x_1,y_1)$ y $\overrightarrow{v}(x_2,y_2)$ , entonces:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2$

Demostración:

En efecto,

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=(x_1 \overrightarrow{i}+y_1 \overrightarrow{j}) \cdot (x_2 \overrightarrow{i}+y_2 \overrightarrow{j})=$

$=(x_1 \, x_2)(\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{i})+(x_1 \, y_2)(\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j})+(y_1 \, x_2)(\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i})+(y_1 \, y_2)(\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{j})=$

$=(x_1 \, x_2) \cdot 1+(x_1 \, y_2) \cdot 0+(y_1 \, x_2) \cdot 0+(y_1 \, y_2) \cdot 1=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Producto_escalar_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 Si las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, respecto de una base otonormal {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>B(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})</math>}} son {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}(x_1,y_1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}(x_2,y_2)</math>}}, entonces:
 {{p}}
-<center><math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=x_1 \, \x_2 + y_1 \, y_2</math></center>
+<center><math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2</math></center>
 |demo=En efecto,
 :<math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=(x_1 \overrightarrow{i}+y_1 \overrightarrow{j}) \cdot (x_2 \overrightarrow{i}+y_2 \overrightarrow{j})=</math>
-::<math>(x_1 x_2)(\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{i})+(x_1 y_2)(\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j})+(y_1 x_2)(\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i})+(y_1 y_2)(\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{j})=</math>
+:::<math>=(x_1 \, x_2)(\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{i})+(x_1 \, y_2)(\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j})+(y_1 \, x_2)(\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i})+(y_1 \, y_2)(\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{j})=</math>
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+:::<math>=(x_1 \, x_2) \cdot 1+(x_1 \, y_2) \cdot 0+(y_1 \, x_2) \cdot 0+(y_1 \, y_2) \cdot 1=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2</math>
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Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

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