Vectores: Producto escalar (1ºBach)
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===Módulo de un vector en una base ortonormal=== | ===Módulo de un vector en una base ortonormal=== | ||
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- | El módulo de un vector {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}(v_1,v_2)</math>}} respecto de una base otonormal {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})</math>}} es | + | El módulo de un vector {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}(v_1,v_2)</math>}}, respecto de una base otonormal, es |
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Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos. | Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos. | ||
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===Ángulo de dos vectores en una base ortonormal=== | ===Ángulo de dos vectores en una base ortonormal=== | ||
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+ | <center><math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2 \qquad |\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \qquad |\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}</math></center> | ||
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+ | <center><math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}) \quad \rightarrow \quad cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}|}</math></center> | ||
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+ | Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos. | ||
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===Vector ortogonal a otro=== | ===Vector ortogonal a otro=== | ||
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Tabla de contenidos |
Producto escalar de vectores
Se llama producto escalar de dos vectores y , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
Propiedades del producto escalar
Propiedad fundamental del producto escalar
Propiedad fundamental
- Si cualquiera de los dos vectores, o , es , entonces .
- Dados dos vectores no nulos, y , se cumple que
- La primera propiedad es inmediata.
- Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.
Signo del producto escalar
Propiedades: signo del producto escalar
El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
- si es agudo.
- si es obtuso.
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.
Operaciones con el producto escalar
Propiedades de las operaciones
- Propiedad conmutativa: .
- Propiedad asociativa: .
- Propiedad distributiva: .
Proyección de vectores y producto escalar
Llamaremos proyección del vector sobre el vector , al número siendo . Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea . |
El producto escalar con bases ortonormales
Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales
Proposición
Sea una base ortonormal, entonces
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Proposición
Si las coordenadas de los vectores y , respecto de una base otonormal son y , entonces:
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Módulo de un vector en una base ortonormal
Módulo de un vector
El módulo de un vector , respecto de una base otonormal, es
Si respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.Ángulo de dos vectores en una base ortonormal
Ángulo entre dos vectores
Dados dos vectores, y , respecto de una base otonormal, se cumple que
Si y , respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos.