Vectores: Producto escalar (1ºBach)
De Wikipedia
Revisión de 09:02 16 mar 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Vector ortogonal a otro) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 09:03 16 mar 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Vector ortogonal a otro) Ir a siguiente diferencia → |
||
Línea 182: | Línea 182: | ||
===Vector ortogonal a otro=== | ===Vector ortogonal a otro=== | ||
- | {{Teorema||titulo=Proposición|enunciado=Los vectores de coordenadas {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\overrightarrow{u}(a,b)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\overrightarrow{v}(-b,a)</math>}}, respecto de una base ortonormal, son ortogonales. | + | {{Teorema||titulo=Proposición|enunciado=:Los vectores de coordenadas {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\overrightarrow{u}(a,b)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\overrightarrow{v}(-b,a)</math>}}, respecto de una base ortonormal, son ortogonales. |
|demo=Por la propiedad fundamental, sabemos que: | |demo=Por la propiedad fundamental, sabemos que: | ||
Línea 198: | Línea 198: | ||
Para que sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero: | Para que sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero: | ||
- | <center><math>(x,1) \cdot ((-2,5)=0 \quad \rightarrow \quad -2x+5=0 \quad \rightarrow \quad x=\cfrac{5}{2}</math></center> | + | <center><math>(x,1) \cdot (-2,5)=0 \quad \rightarrow \quad -2x+5=0 \quad \rightarrow \quad x=\cfrac{5}{2}</math></center> |
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] |
Revisión de 09:03 16 mar 2009
Enlaces internos | Para repasar o ampliar | Enlaces externos |
Indice Descartes Manual Casio | Act. Interactivas | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Tabla de contenidos |
Producto escalar de vectores
Se llama producto escalar de dos vectores y , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
Propiedades del producto escalar
Propiedad fundamental del producto escalar
Propiedad fundamental
- Si cualquiera de los dos vectores, o , es , entonces .
- Dados dos vectores no nulos, y , se cumple que
- La primera propiedad es inmediata.
- Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.
Signo del producto escalar
Propiedades: signo del producto escalar
El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
- si es agudo.
- si es obtuso.
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.
Operaciones con el producto escalar
Propiedades de las operaciones
- Propiedad conmutativa: .
- Propiedad asociativa: .
- Propiedad distributiva: .
Proyección de vectores y producto escalar
Llamaremos proyección del vector sobre el vector , al número siendo . Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea . |
El producto escalar con bases ortonormales
Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales
Proposición
Sea una base ortonormal, entonces
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Proposición
Si las coordenadas de los vectores y , respecto de una base otonormal son y , entonces:
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Módulo de un vector en una base ortonormal
Módulo de un vector
- El módulo de un vector , respecto de una base otonormal, es
<center>
Si respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.Ángulo de dos vectores en una base ortonormal
Ángulo entre dos vectores
Dados dos vectores, y , respecto de una base otonormal, se cumple que
Si y , respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos.- Dados los vectores y , respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:
Vector ortogonal a otro
Proposición
- Los vectores de coordenadas y , respecto de una base ortonormal, son ortogonales.
Por la propiedad fundamental, sabemos que:
Por otro lado, como las base es ortonormal, la expresión analítica del producto escalar es
De manera que el producto escalar vale cero y, por tanto, los vectores son ortogonales.- Calcula el valor de para que el vector , respecto de una base otonormal, sea ortogonal a :
Para que sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero: