Vectores: Producto escalar (1ºBach)
De Wikipedia
Revisión de 16:51 2 oct 2014 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Módulo de un vector en una base ortonormal) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 18:22 2 oct 2014 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Vector ortogonal a otro) Ir a siguiente diferencia → |
||
Línea 273: | Línea 273: | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
+ | ==Videotutoriales== | ||
+ | En estos videotutoriales se va partir de otra definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo. | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{Video_enlace | ||
+ | |titulo1=Producto escalar de vectores | ||
+ | |duracion=8´12" | ||
+ | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/10-producto-escalar-de-vectores#.VC2R6Ra7ZV8 | ||
+ | |sinopsis=Videotutorial | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{ejercicio | ||
+ | |titulo=Ejercicios: ''Producto de un escalar por un vector'' | ||
+ | |cuerpo= | ||
+ | {{Video_enlace | ||
+ | |titulo1=4 ejercicios | ||
+ | |duracion=6´07" | ||
+ | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/1001-cuatro-ejercicios#.VC2SyBa7ZV8 | ||
+ | |sinopsis=Videotutorial | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{Video_enlace | ||
+ | |titulo1=Propiedades del producto escalar | ||
+ | |duracion=5'56" | ||
+ | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/11-propiedades-del-producto-escalar#.VC2TVBa7ZV8 | ||
+ | |sinopsis=Videotutorial | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{ejercicio | ||
+ | |titulo=Ejercicios: ''Producto de un escalar por un vector'' | ||
+ | |cuerpo= | ||
+ | {{Video_enlace | ||
+ | |titulo1=6 ejercicios | ||
+ | |duracion=10´31" | ||
+ | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/1101-seis-ejercicios#.VC2Tgxa7ZV8 | ||
+ | |sinopsis=Videotutorial | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{Video_enlace | ||
+ | |titulo1=Angulo entre dos vectores | ||
+ | |duracion=9´28" | ||
+ | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/12-angulo-de-dos-vectores#.VC2U-xa7ZV8 | ||
+ | |sinopsis=Videotutorial | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{ejercicio | ||
+ | |titulo=Ejercicios: ''Angulo entre dos vectores'' | ||
+ | |cuerpo= | ||
+ | {{Video_enlace | ||
+ | |titulo1=3 ejercicios | ||
+ | |duracion=9´05" | ||
+ | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/1201-tres-ejercicios#.VC2WCha7ZV8 | ||
+ | |sinopsis=Videotutorial | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] |
Revisión de 18:22 2 oct 2014
Enlaces internos | Para repasar o ampliar | Enlaces externos |
Indice Descartes Manual Casio | Act. Interactivas | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Tabla de contenidos |
Producto escalar de vectores
Se llama producto escalar de dos vectores y , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
Propiedades del producto escalar
Propiedad fundamental del producto escalar
Propiedad fundamental
- Si cualquiera de los dos vectores, o , es , entonces .
- Dados dos vectores no nulos, y , se cumple que
- La primera propiedad es inmediata.
- Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.
Signo del producto escalar
Propiedades: signo del producto escalar
El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
- si es agudo.
- si es obtuso.
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.
Operaciones con el producto escalar
Propiedades de las operaciones
- Propiedad conmutativa: .
- Propiedad asociativa: .
- Propiedad distributiva: .
- Propiedad conmutativa:
- Propiedad asociativa:
- (Recuerda que ángulos suplementarios tienen cosenos opuestos).
- Así tenemos una de las igualdades: . La otra igualdad se obtendría de forma similar.
- Propiedad distributiva:
- Obteniendo la igualdad buscada.
Proyección de vectores y producto escalar
Llamaremos proyección del vector sobre el vector , al número siendo . Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea . |
El producto escalar con bases ortonormales
Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales
Proposición
Sea una base ortonormal, entonces
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Proposición
Si las coordenadas de los vectores y , respecto de una base otonormal son y , entonces:
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Actividad interactiva: Producto escalar de dos vectores Actividad 1: En esta escena podrás calcular el producto escalar de dos vectores y ver una interpretación geométrica del mismo. Actividad: Observa la figura y describe las dos maneras diferentes de obtener el producto escalar : Visualiza los siguientes pares de vectores y observa el valor del correspondiente producto escalar: Razona tus respuestas:
Pulsa el botón "Actualizar" para recuperar la figura inicial, desliza el punto verde y observa.
|
Módulo de un vector en una base ortonormal
Módulo de un vector
- El módulo de un vector , respecto de una base otonormal, es
Si respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.Módulo de un vector. Ejemplos. Vectores unitarios.
Ángulo de dos vectores en una base ortonormal
Ángulo entre dos vectores
Dados dos vectores, y , respecto de una base otonormal, se cumple que
Si y , respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos.- Dados los vectores y , respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:
Vector ortogonal a otro
Proposición
- Los vectores de coordenadas y , respecto de una base ortonormal, son ortogonales.
Por la propiedad fundamental, sabemos que:
Por otro lado, como las base es ortonormal, la expresión analítica del producto escalar es
De manera que el producto escalar vale cero y, por tanto, los vectores son ortogonales.- Calcula el valor de para que el vector sea ortogonal a (respecto de una base otonormal):
- Para que sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero:
Videotutoriales
En estos videotutoriales se va partir de otra definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.
Videotutorial
Ejercicios: Producto de un escalar por un vector 4 ejercicios (6´07") Sinopsis: Videotutorial |
Videotutorial
Ejercicios: Producto de un escalar por un vector 6 ejercicios (10´31") Sinopsis: Videotutorial |
Videotutorial
Ejercicios: Angulo entre dos vectores 3 ejercicios (9´05") Sinopsis: Videotutorial |