Vectores: Producto escalar (1ºBach)
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- | :<math>\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})=|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}})=|\overrightarrow{u}| \cdot proy_\overrightarrow{u}(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})</math> | + | :<math>\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})=|\vec{u}| |\vec{v} + \vec{u}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}+\vec{w}})=|\vec{u}| \cdot proy_\vec{u}(\vec{v}+\vec{w})</math> |
- | :<math>\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})+|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{w}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{w}})=</math> | + | :<math>\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}=|\vec{u}||\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})+|\vec{u}||\vec{w}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{w}})=</math> |
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:Obteniendo la igualdad buscada. | :Obteniendo la igualdad buscada. | ||
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Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea <math>cos \, \alpha</math>. | Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea <math>cos \, \alpha</math>. | ||
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El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. | El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. | ||
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Si observamos el dibujo de la derecha, tenemos que | Si observamos el dibujo de la derecha, tenemos que | ||
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Entonces | Entonces | ||
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De la misma manera se obtiene la otra relación: | De la misma manera se obtiene la otra relación: |
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Tabla de contenidos |
Producto escalar de vectores
Se llama producto escalar de dos vectores y , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
Propiedades del producto escalar
Propiedad fundamental del producto escalar
Propiedad fundamental
- Si ó entonces .
- se cumple que
- La primera propiedad es inmediata.
- Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.
Signo del producto escalar
Propiedades
El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
- si es agudo.
- si es obtuso.
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.
Operaciones con el producto escalar
Propiedades
- Conmutativa: .
- Asociativa: .
- Distributiva: .
- Propiedad conmutativa:
- Propiedad asociativa:
- (Recuerda que ángulos suplementarios tienen cosenos opuestos).
- Así tenemos una de las igualdades: . La otra igualdad se obtendría de forma similar.
- Propiedad distributiva:
- Obteniendo la igualdad buscada.
Proyección de vectores y producto escalar
Llamaremos proyección del vector sobre el vector , al número siendo . Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea . |
El producto escalar con bases ortonormales
Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales
Proposición
Sea una base ortonormal, entonces
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Proposición
Si las coordenadas de los vectores y , respecto de una base otonormal son y , entonces:
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Actividad interactiva: Producto escalar de dos vectores Actividad 1: En esta escena podrás calcular el producto escalar de dos vectores y ver una interpretación geométrica del mismo. Actividad: Observa la figura y describe las dos maneras diferentes de obtener el producto escalar : Visualiza los siguientes pares de vectores y observa el valor del correspondiente producto escalar: Razona tus respuestas:
Pulsa el botón "Actualizar" para recuperar la figura inicial, desliza el punto verde y observa.
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Módulo de un vector en una base ortonormal
Módulo de un vector
El módulo de un vector , respecto de una base otonormal, es
Si respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.Módulo de un vector. Ejemplos. Vectores unitarios.
Ángulo de dos vectores en una base ortonormal
Ángulo entre dos vectores
Dados dos vectores, y , respecto de una base otonormal, se cumple que
Si y , respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos.Dados los vectores y , respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:
Vector ortogonal a otro
Proposición
- Los vectores de coordenadas y , respecto de una base ortonormal, son ortogonales.
Por la propiedad fundamental, sabemos que:
Por otro lado, como las base es ortonormal, la expresión analítica del producto escalar es
De manera que el producto escalar vale cero y, por tanto, los vectores son ortogonales.- Calcula el valor de para que el vector sea ortogonal a (respecto de una base otonormal):
- Para que sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero:
Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)
En estos videotutoriales se va partir de otra definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.
Videotutorial
Ejercicios: Producto escalar de vectores 4 ejercicios (6´07") Sinopsis: Videotutorial |
Videotutorial
Ejercicios: Propiedades del producto escalar 6 ejercicios (10´31") Sinopsis: Videotutorial |
Videotutorial
Ejercicios: Angulo entre dos vectores 3 ejercicios (9´05") Sinopsis: Videotutorial |