Vectores: Producto escalar (1ºBach)
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===Signo del producto escalar=== | ===Signo del producto escalar=== | ||
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El '''signo del producto escalar''' queda determinado por el ángulo que forman los vectores: | El '''signo del producto escalar''' queda determinado por el ángulo que forman los vectores: | ||
*<math>\vec{u} \cdot \vec{v}>0</math> si <math>\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}</math> es agudo. | *<math>\vec{u} \cdot \vec{v}>0</math> si <math>\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}</math> es agudo. | ||
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===Operaciones con el producto escalar=== | ===Operaciones con el producto escalar=== | ||
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*'''Conmutativa:''' <math>\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}</math>. | *'''Conmutativa:''' <math>\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}</math>. | ||
*'''Asociativa:''' <math>\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}= \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v})\, , \quad \lambda \in \mathbb{R}</math>. | *'''Asociativa:''' <math>\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}= \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v})\, , \quad \lambda \in \mathbb{R}</math>. | ||
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El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. | El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. | ||
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*'''Proyección de {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} sobre {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}:''' | *'''Proyección de {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} sobre {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}:''' | ||
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==El producto escalar con bases ortonormales== | ==El producto escalar con bases ortonormales== | ||
===Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales=== | ===Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales=== | ||
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Sea {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>B(\vec{x},\vec{y})</math>}} una base ortonormal, entonces | Sea {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>B(\vec{x},\vec{y})</math>}} una base ortonormal, entonces | ||
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Si las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, respecto de una base otonormal {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>B(\vec{x},\vec{y})</math>}} son {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}(x_1,y_1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(x_2,y_2)</math>}}, entonces: | Si las coordenadas de los vectores {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, respecto de una base otonormal {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>B(\vec{x},\vec{y})</math>}} son {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}(x_1,y_1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(x_2,y_2)</math>}}, entonces: | ||
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===Módulo de un vector en una base ortonormal=== | ===Módulo de un vector en una base ortonormal=== | ||
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El módulo de un vector {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(v_1,v_2)</math>}}, respecto de una base otonormal, es | El módulo de un vector {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(v_1,v_2)</math>}}, respecto de una base otonormal, es | ||
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Dados dos vectores, {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}(u_1,u_2)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(v_1,v_2)</math>}}, respecto de una base otonormal, se cumple que | Dados dos vectores, {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}(u_1,u_2)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(v_1,v_2)</math>}}, respecto de una base otonormal, se cumple que | ||
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===Vector ortogonal a otro=== | ===Vector ortogonal a otro=== | ||
- | {{Teorema||titulo=Proposición|enunciado=:Los vectores de coordenadas {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}(a,b)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(-b,a)</math>}}, respecto de una base ortonormal, son ortogonales. | + | {{Teorema||titulo=Proposición (10)|enunciado=:Los vectores de coordenadas {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}(a,b)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(-b,a)</math>}}, respecto de una base ortonormal, son ortogonales. |
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Tabla de contenidos |
Producto escalar de vectores
Se llama producto escalar de dos vectores y , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
Propiedades del producto escalar
Propiedad fundamental del producto escalar
Propiedades (1)
- Si ó entonces .
- se cumple que
- La primera propiedad es inmediata.
- Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.
Signo del producto escalar
Propiedades (2)
El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
- si es agudo.
- si es obtuso.
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.
Operaciones con el producto escalar
Propiedades (3)
- Conmutativa: .
- Asociativa: .
- Distributiva: .
- Propiedad conmutativa:
- Propiedad asociativa:
- (Recuerda que ángulos suplementarios tienen cosenos opuestos).
- Así tenemos una de las igualdades: . La otra igualdad se obtendría de forma similar.
- Propiedad distributiva:
- Obteniendo la igualdad buscada.
Proyección de vectores y producto escalar
Llamaremos proyección del vector sobre el vector , al número siendo . Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea . |
El producto escalar con bases ortonormales
Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales
Proposición (6)
Sea una base ortonormal, entonces
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Proposición (7)
Si las coordenadas de los vectores y , respecto de una base otonormal son y , entonces:
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Actividad interactiva: Producto escalar de dos vectores Actividad 1: En esta escena podrás calcular el producto escalar de dos vectores y ver una interpretación geométrica del mismo. Actividad: Observa la figura y describe las dos maneras diferentes de obtener el producto escalar : Visualiza los siguientes pares de vectores y observa el valor del correspondiente producto escalar: Razona tus respuestas:
Pulsa el botón "Actualizar" para recuperar la figura inicial, desliza el punto verde y observa.
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Módulo de un vector en una base ortonormal
Proposición (8)
El módulo de un vector , respecto de una base otonormal, es
Si respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.Módulo de un vector. Ejemplos. Vectores unitarios.
Ángulo de dos vectores en una base ortonormal
Proposición (9)
Dados dos vectores, y , respecto de una base otonormal, se cumple que
Si y , respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos.Dados los vectores y , respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:
Vector ortogonal a otro
Proposición (10)
- Los vectores de coordenadas y , respecto de una base ortonormal, son ortogonales.
Por la propiedad fundamental, sabemos que:
Por otro lado, como las base es ortonormal, la expresión analítica del producto escalar es
De manera que el producto escalar vale cero y, por tanto, los vectores son ortogonales.- Calcula el valor de para que el vector sea ortogonal a (respecto de una base otonormal):
- Para que sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero:
Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)
En estos videotutoriales se va partir de otra definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
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