Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Producto escalar de vectores
2 Propiedades del producto escalar
3 El producto escalar con bases ortonormales
4 Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})$

Propiedades del producto escalar

Propiedad fundamental del producto escalar

Propiedades (1)

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ó $\vec{v}=\vec{0}$ entonces $\vec{u} \cdot \vec{v}=0$ .

$\forall \, \vec{u} \, , \vec{v} \ne \vec{0}$ se cumple que $\vec{u} \bot \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v}=0$

Demostración:

La primera propiedad es inmediata.
Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.

Signo del producto escalar

Propiedades (2)

El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

$\vec{u} \cdot \vec{v}>0$ si $\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ es agudo.
$\vec{u} \cdot \vec{v}<0$ si $\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ es obtuso.

Demostración:

Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.

Operaciones con el producto escalar

Propiedades (3)

Conmutativa: $\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}$ .
Asociativa mixta: $\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}= \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v})\, , \quad \lambda \in \mathbb{R}$ .
Distributiva: $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ .

Demostración:

Propiedad conmutativa:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=_* |\vec{v}| \, |\vec{u}| \, cos \, (v,u)=\vec{v} \cdot \vec{u}$

$(*) \, cos \, \alpha=cos \, (-\alpha) \rightarrow cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=cos \, (\widehat{\vec{v}, \, \vec{u}})$

Propiedad asociativa:

$\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=\lambda \, |\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})$

$(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}=|\lambda \, \vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\lambda \, \vec{u}, \, \vec{v}})=_*|\lambda | \, |\vec{u}| \, |\vec{v}| \cdot \, signo(\lambda) \cdot cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\lambda \, |\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})$

$(*) \, cos \, (\widehat{\lambda \, \vec{u}, \, \vec{v}})=signo(\lambda) \cdot cos \, (\widehat{ \vec{u}, \, \vec{v}})$ , ya que el ángulo es igual si $\lambda>0\,$ y suplementario si $\lambda<0\,$ .

(Recuerda que ángulos suplementarios tienen cosenos opuestos).

Así tenemos una de las igualdades: $\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}$ . La otra igualdad se obtendría de forma similar.

Propiedad distributiva:

$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})=|\vec{u}| |\vec{v} + \vec{u}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}+\vec{w}})=|\vec{u}| \cdot proy_\vec{u}(\vec{v}+\vec{w})$

$\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}=|\vec{u}||\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})+|\vec{u}||\vec{w}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{w}})=$

$=|\vec{u}|[|\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})+|\vec{w}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{w}})]=$

$=|\vec{u}| \cdot [proy_\vec{u} \vec{v}+proy_\vec{u} \vec{w}]=|\vec{u}| \cdot [proy_\vec{u} (\vec{v}+ \vec{w})]$

Obteniendo la igualdad buscada.

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector $\vec{v}$ sobre el vector $\vec{u}$ , al número

$proy_{\vec{v}}\vec{u}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad$

siendo $\alpha= \widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ .

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea $cos \, \alpha$ .

Proposición (4)

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{v}| \, proy_{\vec{v}}\vec{u}=|\vec{u}| \, proy_{\vec{u}}\vec{v}$

Demostración:

Si observamos el dibujo de la derecha, tenemos que

$proy_{\vec{u}}\vec{v}=|\vec{v}|cos \, \alpha$

Entonces

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| cos \, \alpha=|\vec{u}| \, proy_{\vec{u}}\vec{v}$

De la misma manera se obtiene la otra relación:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, proy_{\vec{v}}\vec{u}$ </center>

Corolarios (5)

Proyección de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ :

$proy_{\vec{v}}\vec{u}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$

Proyecciones coincidentes: Si las proyecciones sobre $\vec{v}$ de $\vec{u_1}$ y de $\vec{u_2}$ coinciden, entonces:

$\vec{u_1} \cdot \vec{v}= \vec{u_2} \cdot \vec{v}$

Demostración:

Corolario 1:

Es inmediato por la proposición anterior.

Corolario 2:

$\vec{u_1} \cdot \vec{v}=|\vec{v}| \, proy_{\vec{v}}(\vec{u_1})=|\vec{v}| \, proy_{\vec{v}}(\vec{u_2})=\vec{u_2} \cdot \vec{v}$

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

Proposición (6)

Sea $B(\vec{x},\vec{y})$ una base ortonormal, entonces

$\vec{x} \cdot \vec{x}=1 \qquad \vec{y} \cdot \vec{y}=1 \qquad \vec{x} \cdot \vec{y}=0$

Demostración:

En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:

$\vec{x} \cdot \vec{x}=|\vec{x}| \, |\vec{x}| \, cos \, (\widehat{\vec{x}, \, \vec{x}})=1 \cdot 1 \cdot 1=1$

$\vec{y} \cdot \vec{y}=|\vec{y}| \, |\vec{y}| \, cos \, (\widehat{\vec{y}, \, \vec{y}})=1 \cdot 1 \cdot 1=1$

$\vec{x} \cdot \vec{y}=|\vec{x}| \, |\vec{y}| \, cos \, (\widehat{\vec{x}, \, \vec{y}})=1 \cdot 1 \cdot 0=0$

Proposición (7)

Si las coordenadas de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , respecto de una base otonormal $B(\vec{x},\vec{y})$ son $\vec{u}(x_1,y_1)$ y $\vec{v}(x_2,y_2)$ , entonces:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2$

Demostración:

En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=(x_1 \vec{x}+y_1 \vec{y}) \cdot (x_2 \vec{x}+y_2 \vec{y})=$

$=(x_1 \, x_2)(\vec{x} \cdot \vec{x})+(x_1 \, y_2)(\vec{x} \cdot \vec{y})+(y_1 \, x_2)(\vec{y} \cdot \vec{x})+(y_1 \, y_2)(\vec{y} \cdot \vec{y})=$

$=(x_1 \, x_2) \cdot 1+(x_1 \, y_2) \cdot 0+(y_1 \, x_2) \cdot 0+(y_1 \, y_2) \cdot 1=$

$=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2$

Ejemplo:

Dados los vectores $\vec{u}(2,-1)$ y $\vec{v}(3,2)$ , respecto de una base otonormal, vamos a calcular $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v}=(2,-1) \cdot (3,2)=2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2=6-2=4$

Producto escalar de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa el producto escalar de dos vectores.

Módulo de un vector en una base ortonormal

Proposición (8)

El módulo de un vector $\vec{v}(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, es

$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Demostración:

Si $\vec{v}=(v_1,v_2)$ respecto de una base otonormal, entonces:

$\vec{v} \cdot \vec{v}=v_1 \, v_1 + v_2 \, v_2=v_1^2+v_2^2$

Por otro lado:

$\vec{v} \cdot \vec{v}=|\vec{v}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{v}, \, \vec{v}})=|\vec{v}|^2 \, cos \, 0=|\vec{v}|^2 \cdot 1=|\vec{v}|^2$

Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.

Ejemplo:

Dado el vector $\vec{u}(2,-1)$ , respecto de una base otonormal, vamos a calcular $|\vec{u}|$ :

$|\vec{u}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$

Módulo de un vector (14´13") Sinopsis:

Módulo de un vector.
Ejemplos.
Vectores unitarios.

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

Proposición (9)

Dados dos vectores, $\vec{u}(u_1,u_2)$ y $\vec{v}(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, se cumple que

$cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\cfrac{u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \, \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$

Demostración:

Si $\vec{u}=(u_1,u_2)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, entonces:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2 \qquad |\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \qquad |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Por otro lado:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}) \quad \rightarrow \quad cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \, |\vec{v}|}$

Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos.

Ejemplo:

Dados los vectores $\vec{u}(2,-1)$ y $\vec{v}(3,2)$ , respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:

$cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \, |\vec{v}|}=\cfrac{4}{\sqrt{5} \, \sqrt{13}}=0.4961 \quad \rightarrow \quad \widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}=60^\circ 15' 20''$

Vector ortogonal a otro

Proposición (10)

Los vectores de coordenadas $\vec{u}(a,b)$ y $\vec{v}(-b,a)$ , respecto de una base ortonormal, son ortogonales.

Demostración:

Por la propiedad fundamental, sabemos que:

$\vec{u} \bot \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v}=0$

Por otro lado, como las base es ortonormal, la expresión analítica del producto escalar es

$\vec{u} \cdot \vec{v}=a \cdot (-b) + b \cdot a=0$

De manera que el producto escalar vale cero y, por tanto, los vectores son ortogonales.

Ejemplo:

Calcula el valor de $x\,$ para que el vector $\vec{u}(x,1)$ sea ortogonal a $\vec{v}(-2,5)$ (respecto de una base otonormal):

Para que sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero:

$(x,1) \cdot (-2,5)=0 \quad \rightarrow \quad -2x+5=0 \quad \rightarrow \quad x=\cfrac{5}{2}$

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

En estos videotutoriales se va partir de la proposición (7) como definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.

Producto escalar de vectores (8´12") Sinopsis:

El "producto escalar" de los vectores u = (u1;u2) y v = (v1;v2) es el número real u1.v1 + u2.v2. Se denota u·v.
Dos vectores se dicen "ortogonales" si su producto escalar es 0.
Dos vectores se dicen "ortonormales" si son ortogonales y tienen módulo 1.
Al final del vídeo está la letanía que debes recitar a modo de mantra cuando aterrices en la Universidad.

4 ejercicios (6´07") Sinopsis:

En este video jugamos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores.

Propiedades del producto escalar (5'56") Sinopsis:

VEl producto escalar goza de las propiedades conmutativa, asociativa mixta y distributiva respecto de la suma. El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado del módulo del vector. No es admisible que las propiedades del producto escalar de vectores te dejen con el culo al aire.

6 ejercicios (10´31") Sinopsis:

6 ejercicios sobre las propiedades del producto escalar.

Angulo entre dos vectores (9´28") Sinopsis:

El coseno del ángulo que forman dos vectores es el cociente entre el producto escalar de los vectores y el producto de los módulos de los vectores.

3 ejercicios (9´05") Sinopsis:

3 ejercicios sobre ángulo entre dos vectores.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Producto_escalar_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_prodescalar.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Observa la figura y describe las dos maneras diferentes de obtener el producto escalar <math>u \cdot v</math>:
-Visualiza los siguientes pares de vectores y observa el valor del correspondiente producto escalar:
-*<math>\vec{u}=(2,4) \quad \vec{v}=(1,-3)</math>
-*<math>\vec{u}=(2,4) \quad \vec{v}=(2,-1)</math>
-*<math>\vec{u}=(6,2) \quad \vec{v}=(3,1)</math>
-*<math>\vec{u}=(6,2) \quad \vec{v}=(5,0)</math>
-*<math>\vec{u}=(1,0) \quad \vec{v}=(0,1)</math>
-Razona tus respuestas:
-*¿Cómo han de ser dos vectores para que su producto escalar sea negativo?
-*¿Cuánto vale el producto escalar de dos vectores perpendiculares?
-*¿Y el de dos paralelos?
-*¿Cómo han de ser dos vectores para que su producto escalar sea grande?
-Pulsa el botón "Actualizar" para recuperar la figura inicial, desliza el punto verde y observa.
-*Describe qué es la proyección de v sobre u
-*¿Al producto de qué dos números es igual el área sombreada?
-*¿Cómo puede obtenerse el producto escalar de dos vectores utilizando la proyección de uno sobre otro?
-}}
 }}

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Tabla de contenidos

Producto escalar de vectores

Propiedades del producto escalar

Propiedad fundamental del producto escalar

Signo del producto escalar

Operaciones con el producto escalar

Proyección de vectores y producto escalar

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

Módulo de un vector en una base ortonormal

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

Vector ortogonal a otro

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

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