Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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(Ángulo de dos vectores en una base ortonormal)
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(Ejercicios propuestos)
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}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{Nota|titulo=Nota:|texto=Como dos vectores forman dos ángulos entre sí, tomaremos el menor de ellos. De todas formas, para el cálculo del producto escalar da igual que tomemos uno u otro, ya que ambos ángulos son opuestos y, por tanto, tienen el mismo coseno.}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace
 +|titulo1=Producto escalar de dos vectores
 +|duracion=19´54"
 +|url1=https://youtu.be/ZpnRfRPGd1Y
 +|sinopsis=Vídeo que condensa los resultados más importantes que se van a desarrollar a lo largo de esta página sobre el producto escalar de dos vectores en el plano.
 +}}
 +
==Propiedades del producto escalar== ==Propiedades del producto escalar==
===Propiedad fundamental del producto escalar=== ===Propiedad fundamental del producto escalar===
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Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea <math>cos \, \alpha</math>. Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea <math>cos \, \alpha</math>.
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 +{{p}}
 +Gráficamente es como la sombra (ver segmento rojo en figura adjunta) que proyecta <math>\vec{v}</math> perpendicularmente sobre <math>\vec{u}</math>, si pusieramos una luz encima de ellos.
 +{{p}}
 +{{Nota|titulo=Nota:|texto=Aquí la proyección se define como un escalar (la medida del segmento rojo de la figura de la derecha). Otras veces, la proyección se define como el vector que determina la sombra tomando como origen, el origen común de los dos vectores, y como extremo, el de la intersección con la línea discontinua perpendicular al vector <math>\vec{u}</math> (ver figura adjunta). En tal caso, para obtener el vector proyección, deberíamos multiplicar el valor de la proyección (escalar) por el vector <math>\vec{u}</math> hecho unitario:
 +
 +<center><math>\vec{proy}_{\vec{u}}\, \vec{v}=proy_{\vec{u}}\, \vec{v} \cdot \cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}</math></center>
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}} }}
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En consecuencia: En consecuencia:
{{p}} {{p}}
-<center><math>proy_{\vec{v}}\, \vec{u}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \qquad proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=\cfrac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|}</math></center>+<center><math>proy_{\vec{v}}\, \vec{u}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \qquad proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}</math></center>
|demo= |demo=
Si observamos el dibujo de la derecha, tenemos que Si observamos el dibujo de la derecha, tenemos que
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}} }}
 +{{p}}
 +{{Nota|titulo=Nota:|texto=Si consideramos la proyección como vector, tendremos:
 +
 +<center><math>\vec{proy}_{\vec{u}}\, \vec{v}=proy_{\vec{u}}\, \vec{v} \cdot \cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}\cdot \cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}\cdot \vec{u}</math></center>
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_pablo
 +|titulo1=Proyección de vectores y producto escalar
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 +|url1=https://youtu.be/VSuveo_lgKE?list=PLDofgcGDlFDP3PLa5X06SC7w-njU6albc
 +|sinopsis=Proyección de vectores y producto escalar. Ejemplos.
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 +{{Video_enlace_unicoos
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 +|sinopsis=Sean <math>\vec{v}=(3,1)</math> y <math>\vec{w}=(1,5)</math>. Halla el vector proyección <math>\vec{proy}_{\vec{v}}\, \vec{w}</math> y su módulo, es decir, <math>proy_{\vec{v}}\, \vec{w}</math>.
}} }}
{{p}} {{p}}
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-[[Imagen:red_star.png|12px]] 1; 2; 3a,c,e; 4+[[Imagen:red_star.png|12px]] 3, 4, 5
-[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 3b,d,f; 5+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1, 2
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}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{Video_enlace_pablo
 +|titulo1=Base canónica. Producto escalar en la base canónica.
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 +|sinopsis=
 +*Base canónica.
 +*Cálculo del producto escalar de vectores del plano en la base canónica.
 +}}
{{Video_enlace_matefacil {{Video_enlace_matefacil
-|titulo1=Producto escalar de vectores+|titulo1=Ejemplo
|duracion=7´23" |duracion=7´23"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=N5f7pYTNcFM&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=31 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=N5f7pYTNcFM&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=31
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===Vector ortogonal a otro=== ===Vector ortogonal a otro===
-{{Teorema||titulo=Proposición (10)|enunciado=Los vectores de coordenadas {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}(a,b)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(-b,a)</math>}}, respecto de una base ortonormal, son ortogonales.+{{Teorema||titulo=Proposición (8)|enunciado=Los vectores de coordenadas {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}(a,b)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(-b,a)</math>}}, respecto de una base ortonormal, son ortogonales.
|demo=Por la propiedad fundamental, sabemos que: |demo=Por la propiedad fundamental, sabemos que:
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 +|titulo1=Producto escalar de vectores ortogonales
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 +|sinopsis=Producto escalar de vectores ortogonales. Obtención de un vector ortogonal a uno dado. Ejemplos.
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{{Geogebra_enlace {{Geogebra_enlace
|descripcion=En esta escena podrás ver como es el producto escalar de vectores ortogonales. |descripcion=En esta escena podrás ver como es el producto escalar de vectores ortogonales.
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===Módulo de un vector en una base ortonormal=== ===Módulo de un vector en una base ortonormal===
-{{Teorema||titulo=Proposición (8)|enunciado=+{{Teorema||titulo=Proposición (9)|enunciado=
El módulo de un vector {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(v_1,v_2)</math>}}, respecto de una base otonormal, es El módulo de un vector {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}(v_1,v_2)</math>}}, respecto de una base otonormal, es
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<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}</math></center> <center><math>|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}</math></center>
-|demo=Si {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}=(v_1,v_2)</math>}} respecto de una base otonormal, entonces:+|demo=Si {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{v}=(v_1,v_2)</math>}} respecto de una base otonormal, entonces, por la proposición (7):
<center><math>\vec{v} \cdot \vec{v}=v_1 \, v_1 + v_2 \, v_2=v_1^2+v_2^2</math></center> <center><math>\vec{v} \cdot \vec{v}=v_1 \, v_1 + v_2 \, v_2=v_1^2+v_2^2</math></center>
-Por otro lado:+Por otro lado sabemos, por la cuarta propiedad de (3), que:
-<center><math>\vec{v} \cdot \vec{v}=|\vec{v}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{v}, \, \vec{v}})=|\vec{v}|^2 \, cos \, 0^o=|\vec{v}|^2 \cdot 1=|\vec{v}|^2</math></center>+<center><math>\vec{v} \cdot \vec{v}=|\vec{v}|^2</math></center>
Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos. Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.
Línea 293: Línea 341:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Módulo de un vector del plano|enunciado={{Video_enlace_matefacil+{{Videotutoriales|titulo=Módulo de un vector|enunciado=
-|titulo1=Módulo de un vector+{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1
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 +|url1=https://youtu.be/e0t3cQujJC4?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Tutorial 2a
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Línea 304: Línea 359:
}} }}
{{Video_enlace_matefacil {{Video_enlace_matefacil
-|titulo1=Vectores unitarios+|titulo1=Tutorial 2b
|duracion=9´45" |duracion=9´45"
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Línea 314: Línea 369:
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-|titulo1=Módulo de un vector+|titulo1=Tutorial 3
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|sinopsis= |sinopsis=
*Módulo de un vector. *Módulo de un vector.
*Ejemplos. *Ejemplos.
*Vectores unitarios. *Vectores unitarios.
 +}}
 +{{Video_enlace_pablo
 +|titulo1=Tutorial 4 (Normalización de vectores)
 +|duracion=12´53"
 +|url1=https://youtu.be/9xSoSG-VT24?list=PLDofgcGDlFDP3PLa5X06SC7w-njU6albc
 +|sinopsis=Vectores unitarios. Normalización de vectores. Ejemplos.
}} }}
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{{p}} {{p}}
Nota: <math>B=\{\vec{i},\vec{j}\}</math> es la base canónica de los vectores del plano. Nota: <math>B=\{\vec{i},\vec{j}\}</math> es la base canónica de los vectores del plano.
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=5'11"
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 +|titulo1=Ejercicio 4
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 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Vectores unitarios
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre vectores unitarios.
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{{wolfram desplegable|titulo=Módulo de un vector|contenido= {{wolfram desplegable|titulo=Módulo de un vector|contenido=
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 +|sinopsis=Producto escalar y ángulo entre dos vectores. Ejemplos.
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 +}}
 +----
{{Video_enlace_matefacil {{Video_enlace_matefacil
-|titulo1=Ángulo entre dos vectores+|titulo1=Ejercicio 1
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 +|sinopsis=3 ejercicios sobre ángulo entre dos vectores.
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}} }}
{{wolfram desplegable|titulo=Ángulo entre vectores|contenido= {{wolfram desplegable|titulo=Ángulo entre vectores|contenido=
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|titulo1=Producto escalar de vectores |titulo1=Producto escalar de vectores
|duracion=8´12" |duracion=8´12"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/10-producto-escalar-de-vectores#.VC2R6Ra7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=rU_J2qPNioA&list=PL811F7AF8E8EC9655&index=20
|sinopsis= |sinopsis=
-*El "producto escalar" de los vectores u = (u1;u2) y v = (v1;v2) es el número real u1.v1 + u2.v2. Se denota u·v.+*El "producto escalar" de los vectores <math>\vec{u} = (u_1;u_2)</math> y <math>\vec{v} = (v_1;v_2)</math> es el número real <math>u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2</math>. Se denota <math>\vec{u} \cdot \vec{v}</math>.
*Dos vectores se dicen "ortogonales" si su producto escalar es 0. *Dos vectores se dicen "ortogonales" si su producto escalar es 0.
*Dos vectores se dicen "ortonormales" si son ortogonales y tienen módulo 1. *Dos vectores se dicen "ortonormales" si son ortogonales y tienen módulo 1.
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|titulo1=4 ejercicios |titulo1=4 ejercicios
|duracion=6´07" |duracion=6´07"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/1001-cuatro-ejercicios#.VC2SyBa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-mTMQKWPyK0&list=PL811F7AF8E8EC9655&index=21
|sinopsis=En este video jugamos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores. |sinopsis=En este video jugamos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores.
}} }}
 +
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Propiedades del producto escalar |titulo1=Propiedades del producto escalar
|duracion=5'56" |duracion=5'56"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/11-propiedades-del-producto-escalar#.VC2TVBa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xomwigWaaPI&list=PL811F7AF8E8EC9655&index=23
|sinopsis=VEl producto escalar goza de las propiedades conmutativa, asociativa mixta y distributiva respecto de la suma. El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado del módulo del vector. |sinopsis=VEl producto escalar goza de las propiedades conmutativa, asociativa mixta y distributiva respecto de la suma. El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado del módulo del vector.
No es admisible que las propiedades del producto escalar de vectores te dejen con el culo al aire. No es admisible que las propiedades del producto escalar de vectores te dejen con el culo al aire.
Línea 452: Línea 552:
|titulo1=6 ejercicios |titulo1=6 ejercicios
|duracion=10´31" |duracion=10´31"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/1101-seis-ejercicios#.VC2Tgxa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=y_8K1e3hTQA&list=PL811F7AF8E8EC9655&index=24
|sinopsis=6 ejercicios sobre las propiedades del producto escalar. |sinopsis=6 ejercicios sobre las propiedades del producto escalar.
}} }}
Línea 458: Línea 558:
|titulo1=Angulo entre dos vectores |titulo1=Angulo entre dos vectores
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/12-angulo-de-dos-vectores#.VC2U-xa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9gzLIBQQKY0&list=PL811F7AF8E8EC9655&index=25
|sinopsis=El coseno del ángulo que forman dos vectores es el cociente entre el producto escalar de los vectores y el producto de los módulos de los vectores. |sinopsis=El coseno del ángulo que forman dos vectores es el cociente entre el producto escalar de los vectores y el producto de los módulos de los vectores.
}} }}
-{{Video_enlace_fonemato+ 
-|titulo1=3 ejercicios+
-|duracion=9´05"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/1201-tres-ejercicios#.VC2WCha7ZV8+
-|sinopsis=3 ejercicios sobre ángulo entre dos vectores.+
}} }}
 +==Producto escalar en el espacio tridimensional (Ampliación)==
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_matesandres
 +|titulo1=Producto escalar de dos vectores en el espacio
 +|duracion=19´58"
 +|url1=https://youtu.be/Vkj9w304n5o
 +|sinopsis=En el siguiente vídeo condensamos todo lo que hemos visto a lo largo de esta página sobre el producto escalar de vectores, pero trabajando con vectores tridimensionales. No obstante, lo que se explican son conceptos generales aplicables a vectores del plano.
}} }}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores \vec{u} y \vec{v}, al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}})



Propiedades del producto escalar

Propiedad fundamental del producto escalar

ejercicio

Propiedades (1)


  • Si \vec{u}=\vec{0} ó \vec{v}=\vec{0} entonces \vec{u} \cdot \vec{v}=0.
  • \forall \, \vec{u} \, , \vec{v} \ne \vec{0} se cumple que \vec{u} \bot \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v}=0

Signo del producto escalar

ejercicio

Propiedades (2)


El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

  • \vec{u} \cdot \vec{v}>0 si \widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}} es agudo.
  • \vec{u} \cdot \vec{v}<0 si \widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}} es obtuso.

Propiedades del producto escalar

ejercicio

Propiedades (3)


  • Conmutativa: \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}
  • Asociativa mixta: \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}= \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v})\, , \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}
  • Distributiva: \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}
  • \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector \vec{v} sobre el vector \vec{u}, al número

proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad

siendo \alpha= \widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}} el ángulo que forman los dos vectores.

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea cos \, \alpha.

Gráficamente es como la sombra (ver segmento rojo en figura adjunta) que proyecta \vec{v} perpendicularmente sobre \vec{u}, si pusieramos una luz encima de ellos.



Imagen:proyeccion2.png
Imagen:proyeccion.png

ejercicio

Proposición (4)


El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

\vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, |\vec{v}| \, proy_{\vec{v}}\, \vec{u} \, = \, |\vec{u}| \, proy_{\vec{u}}\, \vec{v}

En consecuencia:

proy_{\vec{v}}\, \vec{u}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \qquad proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}



ejercicio

Corolario (5): Proyecciones coincidentes


Si las proyecciones sobre \vec{v} de \vec{u_1} y de \vec{u_2} coinciden, entonces:

\vec{u_1} \cdot \vec{v}= \vec{u_2} \cdot \vec{v}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Producto escalar


(Pág. 176)

3, 4, 5

1, 2

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

ejercicio

Proposición (6)


Sea B(\vec{x},\vec{y}) una base ortonormal, entonces

\vec{x} \cdot \vec{x}=1 \qquad \vec{y} \cdot \vec{y}=1 \qquad \vec{x} \cdot \vec{y}=0

ejercicio

Proposición (7)


Si las coordenadas de los vectores \vec{u} y \vec{v}, respecto de una base otonormal B(\vec{x},\vec{y}) son \vec{u}(x_1,y_1) y \vec{v}(x_2,y_2), entonces:

\vec{u} \cdot \vec{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2

Vector ortogonal a otro

ejercicio

Proposición (8)


Los vectores de coordenadas \vec{u}(a,b) y \vec{v}(-b,a), respecto de una base ortonormal, son ortogonales.

ejercicio

Ejemplo:


Calcula el valor de x\, para que el vector \vec{u}(x,1) sea ortogonal a \vec{v}(-2,5), respecto de una base ortonormal.

Módulo de un vector en una base ortonormal

ejercicio

Proposición (9)


El módulo de un vector \vec{v}(v_1,v_2), respecto de una base otonormal, es

|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

ejercicio

Proposición (9)


Dados dos vectores, \vec{u}(u_1,u_2) y \vec{v}(v_1,v_2), respecto de una base otonormal, se cumple que

cos \, (\widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}})=\cfrac{u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \, \sqrt{v_1^2+v_2^2}}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Producto escalar con bases ortonormales


(Pág. 178)

6

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

En estos videotutoriales se va partir de la proposición (7) como definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.

Producto escalar en el espacio tridimensional (Ampliación)

Herramientas personales
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