Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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*Ejemplos. *Ejemplos.
*Vectores unitarios. *Vectores unitarios.
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Tabla de contenidos

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores \vec{u} y \vec{v}, al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}})



Propiedades del producto escalar

Propiedad fundamental del producto escalar

ejercicio

Propiedades (1)


  • Si \vec{u}=\vec{0} ó \vec{v}=\vec{0} entonces \vec{u} \cdot \vec{v}=0.
  • \forall \, \vec{u} \, , \vec{v} \ne \vec{0} se cumple que \vec{u} \bot \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v}=0

Signo del producto escalar

ejercicio

Propiedades (2)


El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

  • \vec{u} \cdot \vec{v}>0 si \widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}} es agudo.
  • \vec{u} \cdot \vec{v}<0 si \widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}} es obtuso.

Propiedades del producto escalar

ejercicio

Propiedades (3)


  • Conmutativa: \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}
  • Asociativa mixta: \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}= \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v})\, , \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}
  • Distributiva: \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}
  • \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector \vec{v} sobre el vector \vec{u}, al número

proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad

siendo \alpha= \widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}} el ángulo que forman los dos vectores.

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea cos \, \alpha.

Gráficamente es como la sombra (ver segmento rojo en figura adjunta) que proyecta \vec{v} perpendicularmente sobre \vec{u}, si pusieramos una luz encima de ellos.



Imagen:proyeccion2.png
Imagen:proyeccion.png

ejercicio

Proposición (4)


El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

\vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, |\vec{v}| \, proy_{\vec{v}}\, \vec{u} \, = \, |\vec{u}| \, proy_{\vec{u}}\, \vec{v}

En consecuencia:

proy_{\vec{v}}\, \vec{u}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \qquad proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}



ejercicio

Corolario (5): Proyecciones coincidentes


Si las proyecciones sobre \vec{v} de \vec{u_1} y de \vec{u_2} coinciden, entonces:

\vec{u_1} \cdot \vec{v}= \vec{u_2} \cdot \vec{v}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Producto escalar


(Pág. 176)

3, 4, 5

1, 2

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

ejercicio

Proposición (6)


Sea B(\vec{x},\vec{y}) una base ortonormal, entonces

\vec{x} \cdot \vec{x}=1 \qquad \vec{y} \cdot \vec{y}=1 \qquad \vec{x} \cdot \vec{y}=0

ejercicio

Proposición (7)


Si las coordenadas de los vectores \vec{u} y \vec{v}, respecto de una base otonormal B(\vec{x},\vec{y}) son \vec{u}(x_1,y_1) y \vec{v}(x_2,y_2), entonces:

\vec{u} \cdot \vec{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2

Vector ortogonal a otro

ejercicio

Proposición (8)


Los vectores de coordenadas \vec{u}(a,b) y \vec{v}(-b,a), respecto de una base ortonormal, son ortogonales.

ejercicio

Ejemplo:


Calcula el valor de x\, para que el vector \vec{u}(x,1) sea ortogonal a \vec{v}(-2,5), respecto de una base ortonormal.

Módulo de un vector en una base ortonormal

ejercicio

Proposición (9)


El módulo de un vector \vec{v}(v_1,v_2), respecto de una base otonormal, es

|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

ejercicio

Proposición (9)


Dados dos vectores, \vec{u}(u_1,u_2) y \vec{v}(v_1,v_2), respecto de una base otonormal, se cumple que

cos \, (\widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}})=\cfrac{u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \, \sqrt{v_1^2+v_2^2}}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Producto escalar con bases ortonormales


(Pág. 178)

6

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

En estos videotutoriales se va partir de la proposición (7) como definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.

Producto escalar en el espacio tridimensional (Ampliación)

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