Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores \vec{u} y \vec{v}, al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}})

Propiedades del producto escalar

Propiedad fundamental del producto escalar

ejercicio

Propiedades (1)


  • Si \vec{u}=\vec{0} ó \vec{v}=\vec{0} entonces \vec{u} \cdot \vec{v}=0.
  • \forall \, \vec{u} \, , \vec{v} \ne \vec{0} se cumple que \vec{u} \bot \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v}=0

Signo del producto escalar

ejercicio

Propiedades (2)


El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

  • \vec{u} \cdot \vec{v}>0 si \widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}} es agudo.
  • \vec{u} \cdot \vec{v}<0 si \widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}} es obtuso.

Propiedades del producto escalar

ejercicio

Propiedades (3)


  • Conmutativa: \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}
  • Asociativa mixta: \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}= \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v})\, , \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}
  • Distributiva: \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}
  • \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector \vec{v} sobre el vector \vec{u}, al número

proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad

siendo \alpha= \widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}} el ángulo que forman los dos vectores.

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea cos \, \alpha.

Gráficamente es como la sombra (ver segmento rojo en figura adjunta) que proyecta \vec{v} perpendicularmente sobre \vec{u}, si pusieramos una luz encima de ellos.

Nota: Aquí la proyección se define como un escalar (la medida del segmento rojo de la figura de la derecha). Otras veces, la proyección se define como el vector que determina la sombra tomando como origen, el origen común de los dos vectores, y como extremo, el de la intersección con la línea discontinua perpendicular al vector \vec{u} (ver figura adjunta). En tal caso, para obtener el vector proyección, deberíamos multiplicar el valor de la proyección (escalar) por el vector \vec{u} hecho unitario:

\vec{proy}_{\vec{u}}\, \vec{v}=proy_{\vec{u}}\, \vec{v} \cdot \cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}
Imagen:proyeccion2.png
Imagen:proyeccion.png

ejercicio

Proposición (4)


El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

\vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, |\vec{v}| \, proy_{\vec{v}}\, \vec{u} \, = \, |\vec{u}| \, proy_{\vec{u}}\, \vec{v}

En consecuencia:

proy_{\vec{v}}\, \vec{u}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \qquad proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}

Nota: Si consideramos la proyección como vector, tendremos:

\vec{proy}_{\vec{u}}\, \vec{v}=proy_{\vec{u}}\, \vec{v} \cdot \cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}\cdot \cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}\cdot \vec{u}

ejercicio

Corolario (5): Proyecciones coincidentes


Si las proyecciones sobre \vec{v} de \vec{u_1} y de \vec{u_2} coinciden, entonces:

\vec{u_1} \cdot \vec{v}= \vec{u_2} \cdot \vec{v}

Ejercicios propuestos

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Ejercicios propuestos: Producto escalar


(Pág. 176)

1; 2; 3a,c,e; 4

3b,d,f; 5

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

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Proposición (6)


Sea B(\vec{x},\vec{y}) una base ortonormal, entonces

\vec{x} \cdot \vec{x}=1 \qquad \vec{y} \cdot \vec{y}=1 \qquad \vec{x} \cdot \vec{y}=0

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Proposición (7)


Si las coordenadas de los vectores \vec{u} y \vec{v}, respecto de una base otonormal B(\vec{x},\vec{y}) son \vec{u}(x_1,y_1) y \vec{v}(x_2,y_2), entonces:

\vec{u} \cdot \vec{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2

Vector ortogonal a otro

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Proposición (8)


Los vectores de coordenadas \vec{u}(a,b) y \vec{v}(-b,a), respecto de una base ortonormal, son ortogonales.

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Ejemplo:


Calcula el valor de x\, para que el vector \vec{u}(x,1) sea ortogonal a \vec{v}(-2,5), respecto de una base ortonormal.

Módulo de un vector en una base ortonormal

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Proposición (9)


El módulo de un vector \vec{v}(v_1,v_2), respecto de una base otonormal, es

|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

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Proposición (9)


Dados dos vectores, \vec{u}(u_1,u_2) y \vec{v}(v_1,v_2), respecto de una base otonormal, se cumple que

cos \, (\widehat{\vec{u}, \,  \vec{v}})=\cfrac{u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \, \sqrt{v_1^2+v_2^2}}

Ejercicios propuestos

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Ejercicios propuestos: Producto escalar con bases ortonormales


(Pág. 178)

6

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

En estos videotutoriales se va partir de la proposición (7) como definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.

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