Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \,  \overrightarrow{v}})

Propiedades del producto escalar

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Nulidad y perpendicularidad


1. Nulidad: Si cualquiera de los dos vectores, \overrightarrow{u} o \overrightarrow{v}, es \overrightarrow{0}, entonces \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0.

2. Perpendicularidad Dados dos vectores no nulos, \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, se cumple que

\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0

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Signo del producto escalar


El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

  • \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}>0 si \widehat{\overrightarrow{u}, \,  \overrightarrow{v}} es agudo.
  • \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}<0 si \widehat{\overrightarrow{u}, \,  \overrightarrow{v}} es obtuso.

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Proyección de vectores


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Operaciones


  • Propiedad conmutativa: \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=<math>\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.
  • Propiedad asociativa: \lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v}).
  • Propiedad distributiva: \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}.



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Combinación lineal de vectores


  • Dados dos vectores \overrightarrow{x} e \overrightarrow{y}, con distintas direcciones, cualquier vector del plano, \overrightarrow{v}, se puede poner como combinación lineal de ellos: \overrightarrow{v}=a \overrightarrow{x}+b \overrightarrow{x}.
  • Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números a\, y b\, para los que se cumple la igualdad anterior.

Estos resultados permiten dar la siguiente definición:

Se llama base de un conjunto de vectores del plano a dos vectores \overrightarrow{x} e \overrightarrow{y}, con distintas direcciones. La representaremos por B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}).

De esta manera, los resultados anteriores se pueden reenunciar de la siguiente manera:

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Teorema de la base


Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.

Si los dos vectores de una base del plano son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además ambos tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal

Coordenadas de un vector respecto de una base

Dada una base del plano B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), cualquier vector \overrightarrow{v} se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base, de forma única:

\overrightarrow{v}=a \overrightarrow{x}+b \overrightarrow{x}
  • El par de números (a,b)\,, diremos que son las coordenadas del vector \overrightarrow{v} respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) y lo expresaremos \overrightarrow{v}=(a,b), o bien, \overrightarrow{v}(a,b).
  • Las coordenadas de los vectores de la base son \overrightarrow{x}(1,0) e \overrightarrow{y}(0,1), ya que \overrightarrow{x}=1 \overrightarrow{x}+0 \overrightarrow{y} y \overrightarrow{y}=0 \overrightarrow{x}+1 \overrightarrow{y}.

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Actividad interactiva: Coordenadas de un vector respecto de una base


Actividad 1: En la escena siguiente vas a hallar las coordenadas de un vector respecto de una base ortogonal.

Actividad 2: En la escena siguiente vas a hallar las coordenadas de un vector respecto de una base que no es ortogonal.

Operaciones con coordenadas

Sean \overrightarrow{u}=(x_1,y_1) y \overrightarrow{v}=(x_2,y_2) dos vectores del plano:

  • Suma de vectores: \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)
  • Producto por un número k: k \overrightarrow{u}=(k \, x_1,k \, y_1)
  • Combinación lineal: a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}=(a \, x_1+ b \, x_2, a \, y_1+b \, y_2)

ejercicio

Actividad interactiva: Operaciones con coordenadas


Actividad 1: Coordenadas de la suma de dos vectores.

Actividad 2: Coordenadas de la combinación lineal de dos vectores.

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