Vectores: Producto escalar (1ºBach)
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Producto escalar de vectores
Se llama producto escalar de dos vectores y , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
Propiedades del producto escalar
Nulidad y perpendicularidad
1. Nulidad: Si cualquiera de los dos vectores, o , es , entonces .
2. Perpendicularidad Dados dos vectores no nulos, y , se cumple que
- Esta propiedad es inmediata.
- Si ambos vectores no son nulos, entonces, para que le productro escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.
Signo del producto escalar
El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
- si es agudo.
- si es obtuso.
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.
Operaciones
- Propiedad conmutativa: .
- Propiedad asociativa: .
- Propiedad distributiva: .
Combinación lineal de vectores
- Dados dos vectores e , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, , se puede poner como combinación lineal de ellos: .
- Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números y para los que se cumple la igualdad anterior.
Estos resultados permiten dar la siguiente definición:
Se llama base de un conjunto de vectores del plano a dos vectores e , con distintas direcciones. La representaremos por .
De esta manera, los resultados anteriores se pueden reenunciar de la siguiente manera:
Teorema de la base
Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.
Si los dos vectores de una base del plano son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además ambos tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal
Coordenadas de un vector respecto de una base
Dada una base del plano , cualquier vector se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base, de forma única:
- El par de números , diremos que son las coordenadas del vector respecto de la base y lo expresaremos , o bien, .
- Las coordenadas de los vectores de la base son e , ya que y .
Actividad interactiva: Coordenadas de un vector respecto de una base Actividad 1: En la escena siguiente vas a hallar las coordenadas de un vector respecto de una base ortogonal. Actividad: En esta escena tenemos la base ortogonal y el vector , que en principio tiene de coordenadas (2,3)\, respecto de dicha base, ya que . Cambiando los valores de a y b puedes ver las distintas coordenadas que va teniendo los distintos vectores y la combinación lineal de e que nos da , pues . Ejercicio: Representa al menos los vectores de coordenadas: , , , , , respecto de la base .Actividad 2: En la escena siguiente vas a hallar las coordenadas de un vector respecto de una base que no es ortogonal. Actividad: Halla las coordenadas del vector respecto de la base :
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Operaciones con coordenadas
Sean y dos vectores del plano:
- Suma de vectores:
- Producto por un número k:
- Combinación lineal:
Actividad interactiva: Operaciones con coordenadas Actividad 1: Coordenadas de la suma de dos vectores. Actividad: Comprueba en la siguiente escena como se obtienen las coordenadas de la suma de dos vectores respecto de la base ortonormal . Ejercicio: Cambia el valor de los controles o mueve con el ratón los extremos de y para comprobar la suma para las siguientes coordenadas: yActividad 2: Coordenadas de la combinación lineal de dos vectores. Actividad: Comprueba en la siguiente escena como se obtienen las coordenadas de la combinación lineal de dos vectores, y ,respecto de la base ortonormal . Este resultado lo puedes ver en la escena, si haces a=1.5 y b=2 Ejercicio: Calcula en tu cuaderno las coordenadas, respecto de la base , de los vectores: a) b) |