Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \,  \overrightarrow{v}})

Propiedades del producto escalar

Perpendicularidad y producto escalar

ejercicio

Nulidad y perpendicularidad


1. Nulidad: Si cualquiera de los dos vectores, \overrightarrow{u} o \overrightarrow{v}, es \overrightarrow{0}, entonces \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0.

2. Perpendicularidad Dados dos vectores no nulos, \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, se cumple que

\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0

Signo del producto escalar

ejercicio

Signo del producto escalar


El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

  • \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}>0 si \widehat{\overrightarrow{u}, \,  \overrightarrow{v}} es agudo.
  • \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}<0 si \widehat{\overrightarrow{u}, \,  \overrightarrow{v}} es obtuso.

Operaciones con el producto escalar

ejercicio

Operaciones


  • Propiedad conmutativa: \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.
  • Propiedad asociativa: \lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v}).
  • Propiedad distributiva: \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}.

Proyección de vectores y producto escalar

ejercicio

Proposición: Proyección de vectores


  • El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u})=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{u}}(\overrightarrow{v})

ejercicio

Corolarios


1. Proyección de \overrightarrow{u} sobre \overrightarrow{v}: proy_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u})=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}

2. Proyecciones coincidentes:

Si las proyecciones sobre \overrightarrow{v} de \overrightarrow{u_1} y de \overrightarrow{u_2} coinciden, entonces: \overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}= <math>\overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}


El producto escalar con bases ortonormales

Herramientas personales
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