Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}| \, cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \,  \overrightarrow{v}})

Propiedades del producto escalar

Perpendicularidad y producto escalar

ejercicio

Propiedades: nulidad y perpendicularidad


  • Nulidad: Si cualquiera de los dos vectores, \overrightarrow{u} o \overrightarrow{v}, es \overrightarrow{0}, entonces \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0.
  • Perpendicularidad Dados dos vectores no nulos, \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, se cumple que
\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0

Signo del producto escalar

ejercicio

Propiedades: signo del producto escalar


El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

  • \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}>0 si \widehat{\overrightarrow{u}, \,  \overrightarrow{v}} es agudo.
  • \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}<0 si \widehat{\overrightarrow{u}, \,  \overrightarrow{v}} es obtuso.

Operaciones con el producto escalar

ejercicio

Propiedades de las operaciones


  • Propiedad conmutativa: \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.
  • Propiedad asociativa: \lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v}).
  • Propiedad distributiva: \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}.

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector \overrightarrow{v} sobre el vector \overrightarrow{u}, al número

proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad

siendo \alpha= \widehat{\overrightarrow{u}, \,  \overrightarrow{v}}.

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea cos \, \alpha.

ejercicio

Proposición: Proyección de vectores


El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}| \, proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=|\overrightarrow{u}| \, proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}
Imagen:proyeccion2.png
Imagen:proyeccion.png

ejercicio

Corolarios


  • Proyección de \overrightarrow{u} sobre \overrightarrow{v}:
proy_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}
  • Proyecciones coincidentes: Si las proyecciones sobre \overrightarrow{v} de \overrightarrow{u_1} y de \overrightarrow{u_2} coinciden, entonces:
\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{v}

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

ejercicio

Proposición


Sea B(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) una base ortonormal, entonces

\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{i}=1 \qquad \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{j}=1 \qquad \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j}=0

ejercicio

Proposición


Si las coordenadas de los vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, respecto de una base otonormal B(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) son \overrightarrow{u}(x_1,y_1) y \overrightarrow{v}(x_2,y_2), entonces:

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2
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