Vectores: Producto escalar (1ºBach)
De Wikipedia
Enlaces internos | Para repasar o ampliar | Enlaces externos |
Indice Descartes Manual Casio | Act. Interactivas | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Tabla de contenidos |
Producto escalar de vectores
Se llama producto escalar de dos vectores y
, al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
![\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})](/wikipedia/images/math/b/3/b/b3ba7bbacff25d0d22265b5f4f0cd1de.png)
Propiedades del producto escalar
Propiedad fundamental del producto escalar
Propiedades (1)
- Si
ó
entonces
.
-
se cumple que
- La primera propiedad es inmediata.
- Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.
Signo del producto escalar
Propiedades (2)
El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
si
es agudo.
si
es obtuso.
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.
Operaciones con el producto escalar
Propiedades (3)
- Conmutativa:
.
- Asociativa mixta:
.
- Distributiva:
.
- Propiedad conmutativa:
- Propiedad asociativa:
![(*) \, cos \, (\widehat{\lambda \, \vec{u}, \, \vec{v}})=signo(\lambda) \cdot cos \, (\widehat{ \vec{u}, \, \vec{v}})](/wikipedia/images/math/4/c/b/4cb83594e40bf427fe792d3f41f93f9c.png)
![\lambda>0\,](/wikipedia/images/math/f/3/a/f3ab97ac90224e2373f173bc804e3c86.png)
![\lambda<0\,](/wikipedia/images/math/1/1/1/1113f3901c05977e0e63299ff8e55a02.png)
- (Recuerda que ángulos suplementarios tienen cosenos opuestos).
- Así tenemos una de las igualdades:
. La otra igualdad se obtendría de forma similar.
- Propiedad distributiva:
- Obteniendo la igualdad buscada.
Proyección de vectores y producto escalar
Llamaremos proyección del vector ![]() siendo Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea |
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Producto escalar |
El producto escalar con bases ortonormales
Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales
Proposición (6)
Sea una base ortonormal, entonces
![\vec{x} \cdot \vec{x}=1 \qquad \vec{y} \cdot \vec{y}=1 \qquad \vec{x} \cdot \vec{y}=0](/wikipedia/images/math/6/3/d/63d44249fec6180f447090849892523e.png)
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Proposición (7)
Si las coordenadas de los vectores y
, respecto de una base otonormal
son
y
, entonces:
![\vec{u} \cdot \vec{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2](/wikipedia/images/math/9/c/1/9c11efd4aec3a4c669de42ab649b22ea.png)
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se representa el producto escalar de dos vectores.
Vector ortogonal a otro
Proposición (10)
Los vectores de coordenadas y
, respecto de una base ortonormal, son ortogonales.
Por la propiedad fundamental, sabemos que:
![\vec{u} \bot \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v}=0](/wikipedia/images/math/9/3/5/935af6dec37652db48950ef360577e9b.png)
Por otro lado, como las base es ortonormal, la expresión analítica del producto escalar es
![\vec{u} \cdot \vec{v}=a \cdot (-b) + b \cdot a=0](/wikipedia/images/math/5/a/9/5a91e8c67a1559f1a68c35d01674085e.png)
Halla 3 vectores ortogonales a (2,3).
Solución: Por la proposición anterior: (-3,2).
Cualquier múltiplo de (-3,2) también será ortogonal: (3,-2) y (-6,4)
Ejemplo:
Calcula el valor de para que el vector
sea ortogonal a
(Nota: Las coordenadas están dadas respecto de una base otonormal)
Al venir dadas las coordenadas respecto de una base ortonormal, para que los vectores dados sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero:
Módulo de un vector en una base ortonormal
Proposición (8)
El módulo de un vector , respecto de una base otonormal, es
![|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}](/wikipedia/images/math/9/9/3/99323abfa22c19c82c333cac69fa1eab.png)
Si respecto de una base otonormal, entonces:
![\vec{v} \cdot \vec{v}=v_1 \, v_1 + v_2 \, v_2=v_1^2+v_2^2](/wikipedia/images/math/2/1/1/211aff8cacc9fee92413fafef09cbb17.png)
Por otro lado:
![\vec{v} \cdot \vec{v}=|\vec{v}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{v}, \, \vec{v}})=|\vec{v}|^2 \, cos \, 0=|\vec{v}|^2 \cdot 1=|\vec{v}|^2](/wikipedia/images/math/5/d/6/5d644272db3346d09021f9d8ec1f0914.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Módulo de un vector.
- Ejemplos.
- Vectores unitarios.
Ángulo de dos vectores en una base ortonormal
Proposición (9)
Dados dos vectores, y
, respecto de una base otonormal, se cumple que
![cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\cfrac{u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \, \sqrt{v_1^2+v_2^2}}](/wikipedia/images/math/4/0/2/4023c9bd8df2dfae5209ce5045347ace.png)
Si y
, respecto de una base otonormal, entonces:
![\vec{u} \cdot \vec{v}=u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2 \qquad |\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \qquad |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}](/wikipedia/images/math/f/d/4/fd449a346c03c0fd658a7a80ca94ddf5.png)
Por otro lado:
![\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}) \quad \rightarrow \quad cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \, |\vec{v}|}](/wikipedia/images/math/1/9/c/19cc1f4c28ed737aeac018d8f4edd7f6.png)
Dados los vectores y
, respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:
Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)
En estos videotutoriales se va partir de la proposición (7) como definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- El "producto escalar" de los vectores u = (u1;u2) y v = (v1;v2) es el número real u1.v1 + u2.v2. Se denota u·v.
- Dos vectores se dicen "ortogonales" si su producto escalar es 0.
- Dos vectores se dicen "ortonormales" si son ortogonales y tienen módulo 1.
- Al final del vídeo está la letanía que debes recitar a modo de mantra cuando aterrices en la Universidad.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
En este video jugamos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
VEl producto escalar goza de las propiedades conmutativa, asociativa mixta y distributiva respecto de la suma. El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado del módulo del vector. No es admisible que las propiedades del producto escalar de vectores te dejen con el culo al aire.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
6 ejercicios sobre las propiedades del producto escalar.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
El coseno del ángulo que forman dos vectores es el cociente entre el producto escalar de los vectores y el producto de los módulos de los vectores.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
3 ejercicios sobre ángulo entre dos vectores.