DEMOSTRACIONES_GRÁFICAS_1
Bloque: Geometría
 

INTRODUCCIÓN
Esta unidad didáctica presenta varias demostraciones del Teorema de Pitágoras. Se probará la igualdad a2=b2+c2 (donde a es la longitud de la hipotenusa y b, c son las longitudes de los catetos) mediante figuras geométricas que pueden ocupar todo el cuadrado de lado a y que también pueden ocupar la figura formada por los cuadrados de lados b, c. Esta figura, dependiendo de cada caso, tendrá una forma diferente.

Para las tres primeras demostraciones la escena consta de una figura, pintada en amarillo, que tiene de base el triángulo y de las piezas que se deberán colocar sobre el cuadrado de lado a y sobre la figura formada por los cuadrados de lados b, c. Estas figuras están pintadas en rojo. Las piezas se pueden mover mediante el control asociado; no se pueden girar, pues no se trata de un pasatiempo sino de ilustrar una demostración.

En todas las escenas no aparecen figuras auxiliares que permitan realizar la demostración. Sólo estarán el triángulo de lados a, b, c y los cuadrados asociados y, naturalmente, las piezas móviles.

La cuarta escena presenta una demostración que exigirá dibujar, recortar y luego hacer un cuadrado de lado a con las piezas fabricadas colocándolas como cada uno crea conveniente. Aquí el aspecto lúdico está más presente.

La quinta escena presenta una generalización de la demostración realizada en la tercera. Cada uno podrá así hacer su propio puzzle-demostración del Teorema de Pitágoras.

Cada escena lleva asociada un conjunto de actividades cuya realización tiene como fin primordial entender que se ha demostrado el Teorema de Pitágoras. Aunque las actividades van numeradas, esto no implica un orden de realización.

En todas las escenas se pueden modificar las dimensiones del triángulo mediante los parámetros b y c. Las longitudes de los catetos deberán ser números mayores o iguales que cero, aunque el que un cateto sea cero no tenga sentido. No es necesario que el cateto b sea mayor que el c. Si la figura se nos hace muy grande o muy pequeña, podremos utilizar zoom para verla mejor.


PRIMERA DEMOSTRACIÓN
Observa la escena y, antes de empezar, lee y apunta en papel las actividades que se han de realizar.

1.- Dibuja en papel todas las figuras que aparecen en la escena. No es necesario que el dibujo sea del todo preciso. Puedes ayudarte de papel cuadriculado si lo consideras necesario.

2.- Escribe junto a cada uno de los lados su longitud y dentro de cada figura su área. Intenta expresar los valores anteriores en función de a, b, c. Si el área de alguna figura la puedes expresar de varias formas, hazlo. Si ahora no lo puedes hacer con todos, espera a terminar otras actividades y luego escribes los valores que te falten.

3.- Coloca las piezas rojas sobre el cuadrado de lado a de tal forma que lo cubran totalmente.

4.- Coloca ahora las piezas rojas sobre la otra figura que no es el triángulo y observa que también la cubren totalmente. ¿Cuánto vale el área de esta figura en función de b, c?

5.- Realiza los dos apartados anteriores con otros triángulos.

6.- ¿Qué igualdad se ha demostrado? ¿Cómo se conoce esta igualdad?


SEGUNDA DEMOSTRACIÓN
Observa la escena y, antes de empezar, lee y apunta en papel las actividades que se han de realizar.

1.- Dibuja en papel todas las figuras que aparecen en la escena. No es necesario que el dibujo sea preciso, pero sí que nos recuerde lo que estamos viendo.

2.- Escribe junto a cada uno de los lados su longitud y dentro de cada figura su área. Intenta expresar los valores anteriores en función de a, b, c. Si el área de alguna figura la puedes expresar de varias formas, hazlo. Si ahora no lo puedes hacer con todos, espera a terminar otras actividades y luego escribes los valores que te falten.

3.- Coloca las piezas rojas sobre el cuadrado de lado a de tal forma que lo cubran totalmente. 

4.- Coloca ahora las piezas rojas sobre la otra figura que no es el triángulo y observa que también la cubren totalmente. ¿Cuánto vale el área de esta figura en función de b, c?

5.- Realiza los dos apartados anteriores con otros triángulos.

6.- ¿Qué igualdad se ha demostrado? ¿Cómo se conoce esta igualdad?

7.- ¿Has conseguido calcular el área del cuadrado rojo de dos formas diferentes? Si lo has hecho habrás probado también una famosa igualdad que te habrá dado muchos quebraderos de cabeza por no utilizarla.


TERCERA DEMOSTRACIÓN
Observa la escena y, antes de empezar, lee y apunta en papel las actividades que se han de realizar.

1.- Dibuja en papel todas las figuras que aparecen en la escena. No es necesario que el dibujo sea preciso, pero tampoco tenemos que hacer un garabato.

2.- Escribe junto a cada uno de los lados su longitud y dentro de cada figura su área. Intenta expresar los valores anteriores en función de a, b, c. Si el área de alguna figura la puedes expresar de varias formas, hazlo. Si ahora no lo puedes hacer con todos, espera a terminar otras actividades y luego escribes los valores que te falten.

3.- Coloca las piezas rojas sobre el cuadrado de lado a de tal forma que lo cubran totalmente.

4.- ¿Cómo son los dos cuadrados más pequeños? Coloca el resto de las piezas rojas sobre el cuadrado amarillo mediano de tal forma que lo cubran totalmente.

5.- Realiza los dos apartados anteriores con otros triángulos.

6.- ¿Qué igualdad se ha demostrado? ¿Cómo se conoce esta igualdad?

7.- Observa bien como quedan colocadas las piezas rojas sobre el cuadrado mediano y describe con palabras como se ha troceado dicho cuadrado.

8.- Dibuja con precisión toda esta figura sobre cartulina (para realizar la figura no utilices reglas graduadas) y recorta las piezas. Propón a un amigo, pariente, conocido... que haga la demostración con las piezas por ti fabricadas.


       
           
  Salvador Calvo-Fernández Pérez
 
Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001