Ángulos en los polígonos (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Ángulos interiores y exteriores
- 1.1 Polígonos cóncavos y convexos
2 Ángulos en un triángulo
3 Ángulos en un cuadrilátero
4 Ángulos en un polígono de n lados
5 Actividades

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Ángulos interiores y exteriores

Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.

En el dibujo de la derecha, el ángulo $\alpha \,$ es interno y los ángulos $\beta \,$ y $\beta' \,$ son sus correspondientes ángulos externos.

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Polígonos cóncavos y convexos

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

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Ángulos en un triángulo

Propiedad

Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Demostración:

Demostración (1'18") Sinopsis:

Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).

También puedes verlo en la siguiente escena de Geogebra.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la suma de los ángulos triángulo.

Tutorial (2'37") Sinopsis:

Ejemplos que ilustran la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

Problema (5'54") Sinopsis:

Los ángulos de un triángulo miden $(2x-30)^o\,$ , $(x+15)^o\,$ y $(3x+75)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

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Ángulos en un cuadrilátero

Propiedad

Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

Demostración:

En la siguiente escena de Geogebra.

Suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

Ángulos en el cuadrilátero

Ejercicio 1a (6'48") Sinopsis:

Halla el ángulo que falta en los siguientes cuadriláteros.

Ejercicio 1b (5'23") Sinopsis:

Halla los ángulos que faltan en los siguientes cuadriláteros.

Ejercicio 2 (1'51") Sinopsis:

Halla el ángulo que falta en el siguiente cuadrilátero.

Ejercicio 3 (3'06") Sinopsis:

Los ángulos de un cuadrilátero miden $(5x-8)^o\,$ , $(4x+4)^o\,$ , $(6x+14)^o\,$ y $(7x-2)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

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Ángulos en un polígono de n lados

Propiedades

La suma de los ángulos interiores de un polígono de $n\,$ lados es igual a $(n-2) \cdot 180^\circ$ .
Si el polígono de lados es regular:
- Cada ángulo interior mide $\cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ .
- Cada ángulo exterior mide $\cfrac{360^\circ}{n}$ .

Demostración:

Desde un vértice cualquiera del polígono se pueden trazar n-3 diagonales que dividen al polígono en n-2 triángulos. Sumando los ángulos de todos esos triángulos se obtiene la fórmula, ya que la suma de los ángulos de cada triángulo es 180º.

Si además el polígono es regular:
- Al tener todos sus ángulos interiores iguales, cada uno de ellos se obtendrá dividiendo el valor del primer apartado por el número de lados, n.
- Para ver la medida del ángulo exterior restaremos a 180º el ángulo interior:

$180^\circ - \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{360^\circ}{n}$

Ángulos interiores de un polígono

Tutorial 1 (7´16") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
Ejemplos de aplicación.
Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.