Cálculo de límites (2ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Cálculo del límite de una función en un punto
2 Límite en un punto en el que la función es continua
3 Límite de funciones a trozos
4 Límites peligrosos
- 4.1 Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador
5 Límite de cociente de funciones polinómicas

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Cálculo del límite de una función en un punto

El cálculo del límite de una función en un punto puede ser muy fácil (inofensivo) o difícil (peligroso). Vamos a ver como hay que proceder en cada caso. En los siguientes videos puedes ver algunas nociones previas de interés.

Cálculo del límite de una función en un punto (7'23") Sinopsis:

Problema típico: te dan la función "f" y te piden que, si existe, calcules su límite en el punto "c".

Límites inofensivos: si para calcular f(c) no se viola ninguna Regla Sagrada, la función "f" tiene límite en "c" y coincide con f(c); o sea, existen los dos límites laterales de "f" en "c" y coinciden con f(c).
Límites peligrosos: si para calcular f(c) se viola ninguna Regla Sagrada, el cálculo del límite de "f" en "c" puede ser muy complicado, y no hay ninguna receta mágica que resuelva el problema en todos los casos.

No debes olvidar que para calcular el límite en un punto nos importa un pito si la función está o no definida en dicho punto, sólo nos interesa que la función está definida en las proximidades del punto.

Paso al límite (6'37") Sinopsis:

La operación lógica que llamamos paso al límite (PL) se reduce a conjugar la tercera persona del singular del presente de indicativo del verbo tender.

Recuerda: al escribir x → c (se lee "x" tiende a "c") queremos decir que "x" (o sea, tú) se aproxima a "c" indistintamente por la izquierda o por la derecha.

Operaciones con límites

Tutorial 1 (2'33") Sinopsis:

Este vídeo es muy importante: en él hablamos de operaciones con límites, y las efectuaremos constantemente a partir de ahora.

Tutorial 2 (9'39") Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con límites. Ejemplos.

El siguiente vídeo resume gran parte de lo que vamos a ver en los siguientes apartados.

Cálculo del límite de una función en un punto (25'27") Sinopsis:

Cálculo del límite en un punto donde la función es continua.
Operaciones con límites.
Límite de funciones a trozos.
Límite de funciones racionales.
Indeterminaciones.
Operaciones con infinito.

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Límite en un punto en el que la función es continua

El caso más sencillo de cálculo del límite de una función en un punto es aquel en el que la función es continua en dicho punto. En efecto:

Proposición

Si $f(x)\;$ es continua en el punto $x=c\;$ , entonces

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

Demostración:

Es inmediato, por la propia definición de función continua en un punto.

Ejemplo: Cálculo del límite en un punto en el que la función es continua

Calcula:

$\lim_{x \to 3} \cfrac{x-2}{x-5}$

Solución:

$D_f= \mathbb{R}-\{5\}$ y sabemos que la función es continua en su dominio por ser una función elemental (cociente de funciones polinómicas).

Como $3 \in D_f$ , entonces $f\;$ es continua en 3 y, por tanto:

$\lim_{x \to 3} f(x)=f(3)=\cfrac{3-2}{3-5}=-\cfrac{1}{2}$

Límite en un punto en el que la función es continua

Ejercicio 1 (8'03") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 7} \, 4x+2$

Ejercicio 2 (1'44") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 2} \, 5x^2-3x+2$

Ejercicio 3 (4'02") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to \frac{1}{3}} \, \cfrac{3x+1}{2x-5}$

Ejercicio 4 (2'11") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 3} \, \cfrac{\sqrt{x^2+7}+5}{x+6}$

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Límite de funciones a trozos

A continuación vamos a ver cómo se estudian los límites de una función definida a trozos. Por simplicidad supondremos que la función consta de sólo dos trozos, pero el procedimiento es extensible a funciones definidas en más de dos trozos.

Procedimiento

Consideremos la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \mbox{si }x < a \\ f_2(x) & \mbox{si }x>a \end{cases}$

con $f_1(x)\;$ y $f_2(x)\;$ continuas.

Para el estudio del $\lim_{x \to c} f(x)$ consideraremos los siguientes casos:

Si $c<a\;$ , entonces $\lim_{x \to c} f(x)=f_1(c)$
Si $c>a\;$ , entonces $\lim_{x \to c} f(x)=f_2(c)$
Si $c=a\;$ , entonces es necesario calcular los límites laterales y si éstos coinciden existirá el límite. Para calcular los límites laterales procederemos como se indica a continuación:

$\lim_{x \to a^-} f(x)=f_1(a)$

$\lim_{x \to a^+} f(x)=f_2(a)$

Entonces, si $f_1(a)=f_2(a)=k\;$ , existirá el límite y será: $\lim_{x \to a} f(x)=k$ .

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos. Estudio de la continuidad

Estudia la continuidad de la siguiente función:

$y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+1 & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Solución:

Veamos primero como es la función en cada trozo:

Si $x<1\;$ , $f(x)=x^2\;$ es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en $\mathbb{R}$ , en particular en $(-\infty,1)$ .

Si $x>1\;$ , $f(x)=2x+1\;$ es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en $\mathbb{R}$ , en particular en $(1,+\infty)$ .

Falta estudiar la continuidad en $x=1\;$ .

Recordemos que una función $f\;$ es continua en $x=c\;$ si

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

o equivalentemente, si

$\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)$

Calculemos los límites laterales y el valor de la función en $x=1\;$ :

$\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} x^2=1^2=1$

$\lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} 2x+1=2 \cdot 1+1=3$

$f(1)= 1^2=1\;$ .

Como $1 \ne 3$ , los límites laterales no coinciden y, por tanto, no existe el límite en $x=1\;$ . En consecuencia, la función no es continua en $x=1\;$ .

Ejercicios: Límite de una función definida a trozos. Estudio de la continuidad

Ejercicio 1 (23'45") Sinopsis:

Estudia la continuidad de la función:

$f(x) = \begin{cases} x-2 & \mbox{si }x < -1 \\ -3 & \mbox{si } -1 \le x \le 2 \\ 3+x & \mbox{si }2<x<4 \\ 7 & \mbox{si }x>4 \end{cases}$

Ejercicio 2a (5'33") Sinopsis:

Comprueba que la siguiente función tiene una discontinuidad evitable:

$f(x) = \begin{cases} 3x-1 & \mbox{si }x \le 2 \\ -x+6 & \mbox{si }x>2 \end{cases}$

Ejercicio 2b (5'23") Sinopsis:

Comprueba que la siguiente función tiene una discontinuidad evitable:

$f(x) = \begin{cases} x^2+1 & \mbox{si }x \ne 2 \\ 3 & \mbox{si }x=2 \end{cases}$

Ejercicio 2c (13'38") Sinopsis:

Estudia la continuidad de la función:

$f(x) = \begin{cases} x^2+2 & \mbox{si }x \le 1 \\ -x^2+2x+2 & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.

Ejercicio 2d (13'38") Sinopsis:

Estudia la continuidad de la función:

$f(x) = \begin{cases} x^2+4x+2 & \mbox{si }x < -1 \\ x^3 & \mbox{si } -1<x \le 1 \\ 3x & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.

Ejercicio 3 (6'57") Sinopsis:

Estudia la continuidad de la función:

$f(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{si }x \le -2 \\ \cfrac{x}{2} & \mbox{si } -2<x<4 \\ \sqrt{x} & \mbox{si }x \ge 4 \end{cases}$

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos con parámetros. Estudio de la continuidad

Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real:

$y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+n & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Solución:

Veamos primero como es la función en cada trozo:

Si $x<1\;$ , $f(x)=x^2\;$ es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en $\mathbb{R}$ , en particular en $(-\infty,1)$ .

Si $x>1\;$ , $f(x)=2x+n\;$ es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en $\mathbb{R}$ , en particular en $(1,+\infty)$ .

Falta estudiar la continuidad en $x=1\;$ .

Recordemos que una función $f\;$ es continua en $x=c\;$ si

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

o equivalentemente, si

$\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)$

Calculemos los límites laterales y el valor de la función en $x=1\;$ :

$\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} x^2=1^2=1$

$\lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} 2x+n=2 \cdot 1+n=2+n$

$f(1)= 1^2=1\;$ .

Para que los dos límites laterales coincidan con $f(1)\;$ deberá ocurrir que:

$2+n = 1 \ \rightarrow \ n=-1$

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Ejercicios: Límite de una función definida a trozos con parámetros. Estudio de la continuidad

Ejercicio 1 (9'13") Sinopsis:

Averigua los valores de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua.

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x < 0 \\ ax+b & \mbox{si } 0 \le x < 1 \\ 2 & \mbox{si } x \ge1 \end{cases}$

Ejercicio 2a (17'24") Sinopsis:

Averigua los valores de "m" para que la siguiente función sea continua en x=1.

$f(x) = \begin{cases} 3-mx^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ \cfrac{2}{mx} & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.

Ejercicio 2b (13'04") Sinopsis:

Averigua los valores de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en x=1:

$f(x) = \begin{cases} x^2+\cfrac{a}{x}+be^{x-1} & \mbox{si }x \le 1 \\ \cfrac{2}{x+1} & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.

Ejercicio 3a (3'40") Sinopsis:

Halla el valor de "h" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales:

$f(x) = \begin{cases} 3hx+1 & \mbox{si }x \le 3 \\ 2x^2+hx-5 & \mbox{si }x>3 \end{cases}$

Ejercicio 3b (13'12") Sinopsis:

Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales:

$f(x) = \begin{cases} 3x^2-1 & \mbox{si }x \le -1 \\ 2ax+3b & \mbox{si }-1<x<2 \\ 4x+7 & \mbox{si }x \ge 2 \end{cases}$

Ejercicio 4a (9'41") Sinopsis:

Halla el valor de "a" y "b" para que las siguientes funciones sean continuas en el conjunto de los números reales:

a) $f(x) = \begin{cases} ax-b & \mbox{si }x \le -1 \\ ax^2-bx+3 & \mbox{si }-1<x \le 2 \\ a-bx^3 & \mbox{si }x > 2 \end{cases}$

b) $f(x) = \begin{cases} ax^2+b & \mbox{si }x < 0 \\ x-a & \mbox{si }0 \le x<1 \\ b+\cfrac{a}{c} & \mbox{si }x \ge 1 \end{cases}$

Ejercicio 4b (7'49") Sinopsis:

Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en el conjunto de los números reales:

$f(x) = \begin{cases} 1+cos \, x & \mbox{si }x \le 0 \\ 2(a+x) & \mbox{si }0<x<1 \\ \cfrac{b}{x^2} & \mbox{si }x \ge 1 \end{cases}$

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Límites peligrosos

Vamos a considerar que un límite es "peligroso" o difícil de calcular, si la función en dicho punto no está definida y, por tanto, no podemos aplicar la propiedad de que el valor del límite en un punto en el que la función es continua coincide con el valor de la función en dicho punto.

Límites peligrosos (13'41") Sinopsis:

En este vídeo establecemos el protocolo de actuación cuando al hacer un PL nos encontramos con cualquiera de las siguientes tres situaciones:

Cociente cuyo denominador tiende a 0, pero no así el númerador.
Logaritmo de un número que tiende a 0.
Raíz de índice par de un número que tiende a 0.

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Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

Procedimiento

Cuando el denominador de la función se anula en el punto en el que queremos calcular el límite, nos podemos encontrar con dos situaciones:

El numerador no se anula: entonces calcularemos los límites por la derecha y por la izquierda que podrán ser $+\infty$ ó $-\infty$ . En tal caso el límite podrá no existir (si los límites laterales no coinciden) o podrá der $+\infty$ ó $-\infty$ (si los límites laterales coinciden).
El numerador también se anula: entonces tendremos una indeterminación del tipo 0/0. Para resolverla haya que recurrir a técnicas especiales. El caso en el que la función sea racional lo trataremos más adelante.

Ejemplo: Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

Calcula el valor de los siguientes límites:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{sen \,x}$ b) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{sen \,x}$

Solución:

a) No existe el límite porque:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{sen \,x}=+ \infty$ , ya que el denominador tiende a

0 +

$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{sen \,x}=- \infty$ , ya que el denominador tiende a

0 -

Para calcular esos límites se debe recurrir a una tabla de valores con valores cercanos a 0 por la derecha y por la izquierda.

b) El numerador y el denominador tienden a 0 (a esto se le llama una "indeterminación del tipo 0/0"). Usando la calculadora (no tenemos otra herramienta, de momento, para este caso), se puede comprobar que:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{sen \,x}=1$

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

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Límite de cociente de funciones polinómicas

Procedimiento

Sea $f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}$ , con $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ dos polinomios en x.

$\mbox{Si} \ Q(c) \ne 0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{P(c)}{Q(c)}$
$\mbox{Si} \ P(c) \ne 0 \ \ \mbox{y} \ \ Q(c)=0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}=\pm \infty$ . En este caso será necesario estudiar los límites laterales para determinar el signo del infinito por cada lado. Podemos hacer uso de la calculadora.
$\mbox{Si} \ P(c)=Q(c)=0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \mbox{indeterminado (0/0)}$ . Para resolver la indeterminación simplificaremos la fracción, ya que al anularese los dos polinomios deberán tener factores comunes. Una vez simplificada volveremos a calcular el límite, pudiendo darse cualquiera de las tres situaciones que acabamos de ver, repitiendo el proceso hasta que estemos en los caso 1 ó 2 y quede calculado el límite.

Ejemplo: Límite de una función cociente de polinomios

Calcula el valor de los siguientes límites y haz un esbozo gráfico del resultado:

a) $\lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-2}$ b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^2+3x-10}$

Solución:

a) Estamos en el el segundo caso y tendremos que estudiar los límites laterales:

$\lim_{x \to 2^-} \frac{x+1}{x-2}=- \infty$ . Usando la calculadora, dando a x valores próximos a 2 por la izquierda: 1.99, 1.999,...

$\lim_{x \to 2^+} \frac{x+1}{x-2}=+ \infty$ . Usando la calculadora, dando a x valores próximos a 2 por la derecha: 2.01, 2.001,...

b) Estamos en el caso 3 porque numerador y el denominador se anulan en x=2 (indeterminación del tipo 0/0). Debemos simplificar la fracción:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^2+3x-10}=\lim_{x \to 2} \frac{(x-3)(x-2)}{(x+5)(x-2)}=\lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+5}$

Ahora estamos en el caso 1:

$\lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+5}=\frac{2-3}{2+5}=\frac{-1}{7}$

Para ver el comportamiento gráfico usa la siguiente escena de Geogebra:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Límite de cociente de funciones polinómicas

Tutorial (12'52") Sinopsis:

Estudio de la continuidad de una función dada por su gráfica.

Ejemplos (14'58") Sinopsis:

Ejemplos de cada uno de los tres casos de límites de cociente de funciones polinómicas.

a) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-4}{x^3+2x^2+5x+10}$

b) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2-4}{x^3+2x^2+5x+10}$

c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+3}{x^2-5x+4}$

Límite de cociente de funciones polinómicas (Tipo a/0)

Ejercicio 1 (12'45") Sinopsis:

3 ejemplos de límites del tipo a/0:

a) $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+2}{x-3}$

b) $\lim_{x \to 7^-} \frac{2x+1}{x-7}$

c) $\lim_{x \to 2} \frac{5-x}{x-2}$

Ejercicio 2 (19'58") Sinopsis:

Límite del tipo a/0:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-x+5}{x-2}$

Ejercicio 3 (13'16") Sinopsis:

2 ejemplos de límites del tipo a/0:

a) $\lim_{x \to 5} \frac{x-2}{x-5}$

b) $\lim_{x \to 5} \frac{2x}{5-x}$

Límite de cociente de funciones polinómicas (Tipo 0/0)

Ejercicio 1 (7'01") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -5} \frac{3x^2+15x}{2x^2-50}$

Ejercicio 2 (16'17") Sinopsis:

2 ejercicios de límites del tipo 0/0:

a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{x^2-1}$

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^4-1}{x^3-x^2+x-1}$

Ejercicio 3 (8'40") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -1} \frac{4x^2+4x}{x^3+x^2+x+1}$

Ejercicio 4 (8'43") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^3-6x^2+9x}{x^2-9}$

Ejercicio 5 (3'37") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 4} \frac{x^2-5x+4}{x^2-2x-8}$

Ejercicio 6 (6'57") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}{x}$

Ejercicio 7 (7'32") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -2} \frac{\frac{3}{4-x}-\frac{1}{x}}{x+2}$

Ejercicio 8 (7'32") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^4-16}{x^3-8}$

Ejercicio 9 (11'29") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -3} \frac{4x^2+9x-9}{x^3+27}$

Ejercicio 10 (3'38") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2+3x+2}{x^2-1}$

Ejercicio 11 (10'56") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 6} \frac{x^2+2x-48}{3x^2-20x+12}$

Ejercicio 12 (8'30") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}$

Ejercicio 13 (7'34") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{y \to 4} \frac{y^2-6y+8}{2y^2-8y}$

Ejercicio 14 (6'25") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-8x+15}{x^2-7x+12}$

Ejercicio 15 (7'41") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 5} \frac{2x^2-13x+15}{x^2-x-20}$

Ejercicio 16 (4'44") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{y \to -1} \frac{y+1}{y^3+1}$

Ejercicio 17 (7'33") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{27x^3}{9x^2-4}$

Ejercicio 18 (8'47") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3-7x+6}{x^3+x^2-4x-4}$

Ejercicio 19 (4'42") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 4} \frac{x^2-16}{x-4}$

Ejercicio 20 (5'12") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}$

Ejercicio 21 (7'17") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 1} \frac{\cfrac{-2}{x-2}-2}{x-1}$

Ejercicio 22 (10'18") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{t \to 1} \frac{t^3-2t+1}{t^3+t^2-2}$

Ejercicio 23 (6'30") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 4} \frac{x^2-16}{x^2-6x+8}$

Ejercicio 24 (8'27") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}$

Ejercicio 25 (9'32") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3+1}{\sqrt[3]{x}+1}$

Ejercicio 26 (15'06") Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

$\lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\sqrt[3]{9x^2+4}-2}{3x-2}$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/C%C3%A1lculo_de_l%C3%ADmites_%282%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

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Cálculo del límite de una función en un punto

Límite en un punto en el que la función es continua

Límite de funciones a trozos

Límites peligrosos

Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

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