Continuidad. Discontinuidades (2ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Continuidad de una función en un punto
2 Tipos de discontinuidades
3 Teorema de Bolzano
4 Teorema de Weierstrass

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Continuidad de una función en un punto

Una función $f(x)\;$ es continua en un punto $a\;$ , si se cumple que:

$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

Para que ésto se cumpla deben ocurrir las tres condiciones siguientes:

La función $f(x)\;$ tiene límite en $x=a\;$ : Existe $\lim_{x \to a} f(x)=L$
La función está definida en $x=a\;$ : Existe $f(a)\;$
Los dos valores anteriores coinciden: $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

Continuidad de una función en un punto

Tutorial 1 (22'31") Sinopsis:

En este vídeo introduciremos el concepto de continuidad de forma gráfica, calculando los límites laterales a partir de la información de la curva.

Tutorial 2 (31'04") Sinopsis:

En este vídeo definiremos cuando una función es continua en un punto usando el concepto de límite y veremos algunos ejemplos en los que usaremos tablas de valores para calcular los límites laterales.

Tutorial 3 (13'37") Sinopsis:

La función "f" se dice continua por la izquierda (derecha) en el punto "a" si el límite de "f" en "a" por la izquierda (derecha) es finito y coincide con f(a). Se dice que "f" es continua en "a" si es continua por la izquierda y por la derecha en "a".

Tutorial 4 (10'57") Sinopsis:

Continuidad de una función. Ejemplos gráficos.

Continuidad de una función en un intervalo (4'19") Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

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Tipos de discontinuidades

Tipos de discontinuidades

Tutorial 1 (9'21") Sinopsis:

Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades

Tutorial 2 (16'07") Sinopsis:

Ejemplos de los distintos tipos de discontinuidad.

Tutorial 3 (5'33") Sinopsis:

Ejemplos gráficos de los distintos tipos de discontinuidad.

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad evitable en un punto $x=a\;$ si existe $\lim_{x \to a} f(x)=L \in \mathbb{R}$ pero éste no coincide con $f(a)\;$ , bien porque $f(x)\;$ no esté definida en $x=a\;$ o bien porque simplemente sean distintos.

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Discontinuidad evitable

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)

$\lim_{x \to a} f(x)=c \in \mathbb{R}$ , pero $\not\exist f(a)$

Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

$\lim_{x \to a} f(x)=c \in \mathbb{R}$ , pero $c \ne f(a)=d$

Ejemplo: Discontinuidad evitable

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad evitable:

a) $y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}$ b) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 1 \\ 3 & \mbox{si }x=1 \end{cases}$

Solución:

a) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.

b) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Discontinuidad evitable

Tutorial (10'09") Sinopsis:

La función "f" presenta "discontinuidad evitable" en el punto "a" si tiene límite finito en "a" pero no coincide con f(a). El términos geométricos significa que la gráfica de "f" tiene un "agujerito" en "a". Se "evita" la discontinuidad "rellenando" el agujerito; y para ello basta redefinir "f" de modo que f(a) coincida con el límite de "f" en "a".

1. Ejemplos (6') Sinopsis:

Ejemplos

2. Ejemplos (7'07") Sinopsis:

Ejercicio de examen para Ministro

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Discontinuidad esencial de primera especie

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto finito en un punto $x=a\;$ si existen los límites laterales en dicho punto y son finitos, pero estos no coinciden:

$\lim_{x \to a^+} f(x) \ne \lim_{x \to a^-} f(x)$

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia enter ambos límites:

$salto=|\lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x)|$

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no, y puede coincidir o no con uno de los dos límites laterales.

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; \not\exist f(a)$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=c$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=d$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=e$

Ejemplo: Discontinuidad de salto finito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto finito y averigua el valor del salto:

$y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\ 1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}$

Solución:

En x=2 tiene una discontinuidad de salto finito. El salto es igual a $| 2 - 1 | = 1$ .

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito si existen los límites laterales, siendo uno finito y otro infinito.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no, y puede coincidir o no con el límite lateral finito.

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Ejemplo: Discontinuidad de salto infinito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto ifinito:

$y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 0 \\ \cfrac{1}{x} & \mbox{si }x>0 \end{cases}$

Solución:

En x=0 tiene una discontinuidad de salto infinito.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica si si existen los límites laterales, siendo ambos + o - infinito, pero no necesariamente iguales.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no.

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Ejemplo: Discontinuidad asintótica

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad asintótica:

a) $y = \cfrac{2}{x+2}$ b) $y = \cfrac{1}{x^2}$

Solución:

a) En x=-2 tiene una discontinuidad asintótica.

b) En x=0 tiene una discontinuidad asintótica.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Discontinuidad de primera especie

Tutorial (4'57") Sinopsis:

La función "f" presenta "discontinuidad de primera especie" en el punto "a" si los límites laterales de "f" en "a" son distintos. El términos geométricos significa que la gráfica de "f" da un "salto" en "a".

1. Ejemplos (12'05") Sinopsis:

3 ejercicios sobre discontinuidades de primera especie

2. Ejemplos (16'38") Sinopsis:

3 ejercicios sobre discontinuidades de primera especie

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Discontinuidad esencial de segunda especie

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no.

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^+} f(x) \, ; \not \exist \lim_{x \to a^-} f(x)$

Es oscilante por ambos lados

"f(a)" puede estar definida o no

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^+} f(x) \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

Es oscilante por la derecha

"f(a)" puede estar definida o no

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^-} f(x) \, ; \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

Es oscilante por la izquierda

"f(a)" puede estar definida o no

Ejemplo: Discontinuidad de segunda especie

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de segunda especie:

$y = sen \, \frac{1}{x}$

Solución:

En x=0 tiene una discontinuidad de segunda especie.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Advertencia

Algunos autores incluyen dentro de las discontinuidades de segunda especie los siguientes casos:

No hay función a la derecha de a

No hay función a la izquierda de a

No hay función ni a la derecha ni a la izquierda de a

No obstante, en estos casos, nosotros no diremos que la función sea discontinua en "a". Para explicar esto con rigor es necesario recurrir a la definición formal de continuidad que se verá en cursos posteriores.

Como ejemplo de esto que estamos diciendo tienes el siguiente video:

Discontinuidad de segunda especie (11'06") Sinopsis:

La función "f" presenta "discontinuidad de segunda especie" en el punto "c" si no existe alguno de los límites laterales de "f" en "c".

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Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano (4'47") Sinopsis:

La propiedad "D" de Darboux (7'08") Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Ejercicio 1 (3'24") Sinopsis:

¿Se puede afirmar que la función $f(x)=x^3-3x^2+5\;$ toma el valor $\sqrt{2}\;$ en algún punto del intervalo [1,2]?

Ejercicio 2 (3'24") Sinopsis:

Sea la función $f(x)=\cfrac{x-1}{x+2}$ , que cumple que f(-3)=4 y f(-1)=-2, pero cuya gráfica no corta al eje de abscisas en el intervalo [-3,-1]. Razona si esto contradice el teorema de Bolzano.