Continuidad. Discontinuidades (2ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Continuidad de una función en un punto
2 Tipos de discontinuidades
3 Teorema de Bolzano
4 Teorema de Weierstrass

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Continuidad de una función en un punto

Una función $f(x)\;$ es continua en un punto $a\;$ , si se cumple que:

$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

Para que ésto se cumpla deben ocurrir las tres condiciones siguientes:

La función $f(x)\;$ tiene límite en $x=a\;$ : Existe $\lim_{x \to a} f(x)=L$
La función está definida en $x=a\;$ : Existe $f(a)\;$
Los dos valores anteriores coinciden: $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

Continuidad de una función en un punto [Mostrar]

Continuidad de una función en un intervalo (4'19") Sinopsis: [Mostrar]

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Tipos de discontinuidades

Tipos de discontinuidades [Mostrar]

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad evitable en un punto $x=a\;$ si existe $\lim_{x \to a} f(x)=L \in \mathbb{R}$ pero éste no coincide con $f(a)\;$ , bien porque $f(x)\;$ no esté definida en $x=a\;$ o bien porque simplemente sean distintos.

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Discontinuidad evitable

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)

$\lim_{x \to a} f(x)=c \in \mathbb{R}$ , pero $\not\exist f(a)$

Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

$\lim_{x \to a} f(x)=c \in \mathbb{R}$ , pero $c \ne f(a)=d$

Ejemplo: Discontinuidad evitable

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad evitable:

a) $y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}$ b) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 1 \\ 3 & \mbox{si }x=1 \end{cases}$

Solución:[Mostrar]

Discontinuidad evitable [Mostrar]

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Discontinuidad esencial de primera especie

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto finito en un punto $x=a\;$ si existen los límites laterales en dicho punto y son finitos, pero estos no coinciden:

$\lim_{x \to a^+} f(x) \ne \lim_{x \to a^-} f(x)$

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia enter ambos límites:

$salto=|\lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x)|$

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no, y puede coincidir o no con uno de los dos límites laterales.

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; \not\exist f(a)$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=c$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=d$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=e$

Ejemplo: Discontinuidad de salto finito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto finito y averigua el valor del salto:

$y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\ 1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}$

Solución:[Mostrar]

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito si existen los límites laterales, siendo uno finito y otro infinito.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no, y puede coincidir o no con el límite lateral finito.

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Ejemplo: Discontinuidad de salto infinito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto ifinito:

$y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 0 \\ \cfrac{1}{x} & \mbox{si }x>0 \end{cases}$

Solución:[Mostrar]

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica si si existen los límites laterales, siendo ambos + o - infinito, pero no necesariamente iguales.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no.