Distancias en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Distancia ente dos puntos
2 Distancia de un punto a una recta
3 Ejercicios propuestos
4 Distancia entre dos rectas

(Pág. 203)

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Distancia ente dos puntos

La distancia entre dos puntos $P(x_1,y_1)\,$ y $Q(x_2,y_2)\,$ es igual al módulo del vector $\overrightarrow{PQ}$ :

$d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Distancia ente dos puntos

Tutorial 1 (8´59") Sinopsis:

Módulo de un vector = distancia entre dos puntos. Demostración de la fórmula.
Ejemplos y ejercicios.

Tutorial 2 (8'37") Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano. Ejemplos.

Tutorial 3 (6'12") Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano. Ejemplos.

Tutorial 4 (10'06") Sinopsis:

Fórmula de la distancia euclidea entre dos puntos del plano. Ejemplos.
Otra distancia: la "distancia de Manhattan".

Cálculo de distancias:

Ejercicio 1 (2'30") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos A(7,3) y B(3,-1).

Ejercicio 2 (4'17") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos A(3,1/2) y B(4/3,-1).

Ejercicio 3 (4'21") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos A(3/2,-1/6) y B(-1/2,1/3).

Ejercicio 4 (3'31") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos $A(5\sqrt{6},8\sqrt{2})\;$ y $B(3\sqrt{6},-7\sqrt{2})\;$ .

Ejercicio 5 (4'49") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos $A \left( \cfrac{-\sqrt{5}}{4},\cfrac{3}{5}\right)\;$ y $B \left(\cfrac{\sqrt{5}}{4},-\cfrac{1}{5}\right)\;$ .

Halla la coordenada que falta:

Ejercicio 1 (5'11") Sinopsis:

Halla el valor de "x" para que la distancia entre los puntos A(x,-1) y B(9,4) sea 13.

Ejercicio 2 (4'30") Sinopsis:

Halla el valor de "y" para que la distancia entre los puntos P(7,1) y Q(3,y) sea 5.

Ejercicio 3 (6'09") Sinopsis:

Halla el punto Q el eje Y que equidista de A(4,2) y B(5,5).

Ejercicio 4 (5'26") Sinopsis:

Halla el punto P el eje X que equidista de A(5,1) y B(0,6).

Ejercicio 5 (11'53") Sinopsis:

Halla el punto P que equidista de A(7,-3), B(8,-2) y C(0,-2).

Ejercicio 6 (7'10") Sinopsis:

La abscisa, x, de un punto P, es el doble de sus ordenada, y. P equidista de Q(4,-3) y R(1,6). Halla el punto P.

Ejercicio 7 (6'15") Sinopsis:

Sean los puntos M(5,2) y N(1,k). Determina "k" en cada uno de los siguientes casos:

a) d(M,N)=4; b) d(M,N)=6; c) d(M,N)=1

Polígonos:

Ejercicio 1 (6'21") Sinopsis:

Halla el perímetro del triángulo de vértices A(3,-8), B(-2,2) y C(7,-1).

Ejercicio 2 (6'21") Sinopsis:

Halla el perímetro del polígono de vértices A(3,2), B(5,5), C(-2,4) y D(-4,1).

Ejercicio 3 (9'17") Sinopsis:

Halla el área del triángulo de vértices P(-1,2), Q(2,4) y R(0,5), usando la fórmula de Herón.

Ejercicio 4 (9'17") Sinopsis:

Halla el área del triángulo de vértices P(6,0), Q(2,-5) y R(-2,-1), usando la fórmula de Herón.

Ejercicio 5 (7'56") Sinopsis:

Verifica que los puntos A(3,5), B(-1,-1) y C(4,4) son los vértices de un triángulo rectángulo. Halla su área.

Ejercicio 6 (8'04") Sinopsis:

Verifica que los puntos A(-2,4), B(6,2) y C(3,-1) son los vértices de un triángulo rectángulo. Halla su área.

Ejercicio 7 (5'46") Sinopsis:

Verifica que los puntos $A(-1,0)\;$ , $B(3,0)\;$ y $C(1,2\sqrt{3})$ forman un triángulo equilátero.

Ejercicio 8 (6'04") Sinopsis:

Verifica que los puntos A(-2,-3), B(-4,-5) y C(-1,-6) son los vértices de un triángulo isósceles.

Ejercicio 9 (7'54") Sinopsis:

Analizar si el triángulo A(7,3), B(1,-4) y C(3,5) es equilátero.

Puntos colineales:

Ejercicio 1 (6´12") Sinopsis:

Determina si los puntos A(-3,1), B(0,2) y C(6,4) son colineales, usando distancias.

Ejercicio 2 (6´11") Sinopsis:

Determina si los puntos A(321), B(0,0) y C(9,6) son colineales, usando distancias.

Ejercicio 3 (8´12") Sinopsis:

Determina si los puntos A(-3,3), B(1,1/3) y C(3,-1) son colineales, usando distancias.

Otros:

Ejercicio 1 (7'30") Sinopsis:

Determina los puntos del plano cuya distancia al punto M(3,-5) sea 2.

Distancia entre dos puntos del plano

Distancia entre dos puntos del plano Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la distancia entre dos puntos del plano.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre distancias entre dos puntos del plano.

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Distancia de un punto a una recta

Proposición

La distancia del punto $P(a,b)\,$ a la recta $r: \, Ax+By+C=0$ es:

$d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Demostración:

Sea $R(x_0,y_0)\,$ un punto de la recta.

Dados dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , sabemos que $proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|}$

Llamando $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n}=(A,B)$ , $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{RP}=(a-x_0,b-y_0)$

$d(P,R)=|proy_{\overrightarrow{n}}\overrightarrow{RP}|=\cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{RP}|}{|\overrightarrow{n}|}=\cfrac{|(A,B) \cdot (a-x_0,b-y_0)|}{|(A,B)|}=$

$=\cfrac{|A(a-x_0)+B(b-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb-(Ax_0+By_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

ya que $Ax_0+By_0=-C\,$ , por ser $R(x_0,y_0)\,$ un punto de la recta.

Otra demostración (14´57") Sinopsis:

Otra demostración de la fórmula de la distancia.

Distancia de un punto a una recta (11'04") Sinopsis:

Cálculo de la distancia de un punto a una recta.

Distancia de un punto a una recta (método vectorial) Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la distancia de un punto a una recta utilizando vectores, tal y como se ha visto en la demostración anterior.

Distancia de un punto a una recta (método de "regla y compás") Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la distancia de un punto a una recta utilizando una construcción simple, de las que se denominan de "regla y compás".

Ejemplo: Distancia de un punto a una recta

En esta escena vamos a hallar la distancia del punto $P(-5,8)\,$ a la recta $r: \, 2x-6y+7=0$ .

Solución:

$d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|2 \cdot (-5)-6 \cdot 8+7|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\cfrac{51}{\sqrt{40}}=8.06$

Click aquí si no se ve bien la escena

Hazlo tú:

Calcula la distancia del punto $P(2,-1)\,$ a la recta $r: \, x-3y+5=0$ y comprueba el resultado en la escena anterior.

Ejercicio resuelto: Distancias en el plano

Halla el área del triángulo de vértices A(0,0), B(6,5) y C(2,5).

Solución:

Tomando como base del triángulo el lado BC, tendremos que calcular d(B,C) y d(A, BC) para hallar las medidas de la base y de la altura.

Solución: Área=10 u².

Distancias en el plano

Proyección de un punto sobre una recta (7'15") Sinopsis:

Videotutorial

Distancia de un punto a una recta (7´43") Sinopsis:

Cálculo de la distancia de un punto a una recta.
Ejemplos.

Ejercicio 1 (9´27") Sinopsis:

Ejercicio sobre el cálculo de la distancia de un punto a una recta (2 métodos)

Ejercicio 2 (7´33") Sinopsis:

En este vídeo calculamos la distancia de un punto a una recta identificada en forma continua. Problema típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.

Ejercicio 3 (5´06") Sinopsis:

En este vídeo calculamos la distancia de un punto a una recta identificada en forma paramétrica. Problema típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.

Ejercicio 4 (6´56") Sinopsis:

Dos ejercicios sobre distancia de un punto a una recta en los que una de las coordenadas del punto es un parámetro "k" que hay que averiguar conocido el valor de la distancia.

Ejercicio 5 (4´36") Sinopsis:

Hay que determinar la recta que pasa por un punto dado y equidista de dos puntos dados. Típico de examen. No puede dejarse escapar.

Ejercicio 6 (3´29") Sinopsis:

Hay que determinar el punto de una recta dada "r" cuya distancia a la recta dada "s" es conocida. Típico de examen. No puede dejarse escapar.

Ejercicio 7 (4´22") Sinopsis:

Dados dos puntos "P" y "Q", hay que determinar la recta que pasa por "P" y está a distancia dada de "Q". Típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.

Ejercicio 8 (6´59") Sinopsis:

Dados dos vértices de un triángulo equilatero, debemos determinar el tercer vértice. Típico de examen. No puede dejarse escapar.

Ejercicio 9 (10´07") Sinopsis:

Problema típico de examen sobre triángulos uno de cuyos vértices tiene una coordenada desconocida que hay que determinar, conocida el área. No es admisible dejarlo escapar.

La solución que damos sirve para ilustrar el uso de "ventanas", que facilitan la tarea a tu profe y le hacen feliz.

Ejercicio 10 (6´27") Sinopsis:

Determinar un punto de una recta que determina con otros dos puntos dados un triángulo de área dada.

Ejercicio 11 (7´18") Sinopsis:

Nos dan tres vértices consecutivos de un paralelogramo y debemos determinar el cuarto vértice y el área del paralelogramo. Otro ejemplo de uso de "ventanas"..... esfuérzate en aprender a emplearlas.

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