Distribuciones discretas: La distribución binomial

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Función de probabilidad

Denotaremos como $\mathrm{P} \left( \, X \, = \, x_i \, \right)$ a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor $x i$ .

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$ a la aplicacion que a cada valor de $x i$ de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:

$\mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, x_i \, \right)$

Por definición, deducimos que si $\left\{ \, x_1, \, x_2, \ldots, \, x_n \, \right\}$ son los valores que puede tomar la variable $X$ , entonces:

$\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, 1$

ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.

Ejemplo:Función de probabilidad

En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación $X$ que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. Halla su función de probabilidad.

Solución:

$f(0)= P(X=0)= \frac{1} {8}$ ; $f(1)= P(X=1)= \frac{3} {8}$

$f(2)= P(X=2)= \frac{3} {8}$ ; $f(3)= P(X=3)= \frac{1} {8}$

Observa que

$\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1$

Función de distribución

Dada una variable aleatoria discreta $X$ , su función de distribución es la aplicación que a cada valor de $x i$ de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o iguales que $x i$ , y la denotamos por:

$\mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \le x_i \, \right)$

La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguientes caracteristicas:

1. Al ser una probabilidad, $0 \le \mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \le 1$ .

2. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es nula para todo valor de $x$ menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a uno para todo valor de $x$ mayor que el mayor valor de la variable.
3. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es creciente.

4. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es constante en cada intervalo $\left( \, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \, \right)$ , además es continua a la derecha de $x i$ y a la izquierda $x_{i \, + \, 1}$ , y discontinua a la izquierda de $x i$ y a la derecha de $x i + 1$ , para $i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1$

5. Sea $x i < x j$ , entonces $\mathrm{P} \left( \, x_i < X \le x_j \, \right) \, = \, \mathrm{F} \left( \, x_j \, \right) \, - \, \mathrm{F} \left( \, x_i \, \right)$

Distribución binomial

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados:

A

, llamado éxito, y su contrario $\bar{A}$ , llamado fracaso.

2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

3. La probabilidad de

A

, que denotamos por

p

, no varía de una prueba a otra.

4. En cada experimento se realizan

n

pruebas idénticas.

Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial. Su función de probabilidad queda determinada por $n$ número de pruebas idénticas realizadas y $p$ probabilidad de éxito en una de ellas.

A la variable $X$ , que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le llama variable aleatoria binomial $B (n, p)$ .

Su función de probabilidad es:

$\mathrm{P} \left( \, X \, = \, r \, \right) \, = \, \left( \, { n \atop r } \right) \cdot p^r \cdot \left( \, 1 \, - \, p \, \right) ^ \left( \, n \, - \, r \, \right)$

Además

$E(X)=n.p \qquad \sigma= \sqrt{n.p.(1-p)}$

Obtención de la función de probabilidad.

Existen varias maneras de obtener $r$ exitos en las $n$ pruebas. Supongamos que lanzamos una moneda $n \, = \, 3$ veces y calculemos la probabilidad del suceso "obtener 2 caras": $\left\{ \, X \, = \, 2 \, \right\}$ . ( Aqui el exito es que salga cara ). Existen tres posibilidades de que ocurra $\left\{ \, X \, = \, 2 \, \right\}$ :

<center> $\bar{A}AA \quad A\bar{A}A \quad AA\bar{A}$

La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.

Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:

$\mathrm{P} \left( \, X \, = \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, \bar{A}AA \, \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A\bar{A}A \, \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, AA\bar{A} \, \right)$

Por otra parte, $\mathrm{P} \left( \, \bar{A}AA \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A\bar{A}A \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, AA\bar{A} \, \right) \, = \, p^2 \cdot \left( \, 1 \, - \, p \, \right)$ . Por ejemplo:

$\mathrm{P} \left( \, AA\bar A \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, \bar A \, \right) \, = \, p \cdot p \cdot \left( \, 1 \, - \, p \, \right)$

donde la primera igualdad es cierta porque los resultados de las tres pruebas son independientes.

Así

$\mathrm{P} \left( \, X \, = \, 2 \, \right) \, = \, 3 \cdot p^2 \cdot \left( \, 1 \, - \, p \, \right)$

En general:

$\mathrm{P} \left( \, X \, = \, r \, \right) \, = \, \left( \, { n \atop r } \right) \cdot p^r \cdot \left( \, 1 \, - \, p \, \right) ^ \left( \, n \, - \, r \, \right)$

donde

$\left( { n \atop r } \right) \, = \, \frac{n!}{r!\left( \, n \, - \, r \, \right)!}$
es el número de sucesos elementales que componen el suceso $\left\{ \, X \, = \, r \, \right\}$ ( estos sucesos elementales tienen en común un mismo número de éxitos y de fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los éxitos y los fracasos ).

$p^r \cdot \left( \, 1 \, - \, p \, \right) ^ \left( \, n \, - \, r \, \right)$ es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.

NOTA: $n!$ es el factorial de $n$ , $n! \, = \, n \cdot \left( \,n \, - \, 1 \, \right) \cdot \ldots 2 \cdot 1$

Ejemplo: Distribución binomial

¿Cual es la probabilidad de que en una familia con 5 hijos, 3 sean chicos y 2 chicas?

Solución:

En este caso el experimento aleatorio consiste de $n \, = \, 5$ "pruebas". Cada una de estas pruebas es el nacimiento de un hijo. Supongamos que la probabilidad de que un hijo sea chico es de $p \, = \, 0,5$ . Entonces, si $X$ es el numero de hijos varones, se tiene que:

$\mathrm{P} \left( \, X \, = \, 3 \, \right) \, = \, \left( { 5 \atop 3 } \right) \cdot 0,5^3 \cdot \left( \, 1 \, - \, 0,5 \, \right) ^ { \left( \, 5 \, - \, 3 \, \right) } \, = \, \frac{5!}{3!2!} \cdot 0,5^5 \, = \, 10 \cdot 0,5^5$

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