Distribuciones muestrales. Teorema central del límite

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Tabla de contenidos

1 Distribución muestral de las proporciones
2 Distribución muestral de las medias
3 Teorema central del límite

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Distribución muestral de las proporciones

Vamos a obtener experimentalmente la distribución de las proporciones muestrales. Para ello consideremos el conjunto de figuras:

La proporción poblacional de triángulos es 1/4.

Consideremos todas las muestras de tamaño 2 posibles, mediante muestreo aleatorio simple (con reemplazamiento). Hallamos la distribución de probabilidad de la proporción muestral (nombrada por $\widehat{p}$ ):

Calculamos su esperanza matemática y la varianza:

$E( \widehat{p})= 0. \frac{9} {16} + 0.5. \frac{6} {16} + 1. \frac{1} {16} = \frac{1} {4}= p$

$V( \widehat{p})= 0^2. \frac{9} {16} + 0.5^2. \frac{6} {16} + 1^2. \frac{1} {16} - ( \frac{1} {4})^2 = \frac{3} {32}= \frac{p.(1-p)} {n}$

El número de éxitos x de una muestra de tamaño n, se distribuye de forma binomial B(n, p); si la aproximamos a una normal será $N( n.p, \sqrt{n.p.(1-p)})$ . Como $p = \frac{x} {n}$ , dividiendo x por n se tiene que:

$\widehat{p} \rightarrow N \left ( p , \sqrt{ \frac{p.(1-p)} {n}}\right )$

Si la población es finita y la extracción simultánea o sin reposición, la desviación típica va multiplicada por la siguiente expresión:

$\sqrt{ \frac{N - n} {N - 1}}$

Donde N = tamaño de la población y n = tamaño de la muestra

Ejemplo:Validación experimental (proporción)

De la población que consta de 4 circulos de color blanco, azul, rojo y verde, extrae todas las muestra posible de tamaño 2 de dos formas distintas:

a) Simultánea (sin reposición y sin que importe el orden)

b) Sucesiva sin reposición (importa el orden).

Calcula la distribución de probabilidad de la proporción muestral y con ella la esperanza y la varianza. Comprueba el resultado anterior.

Solución:

Actividad 1

Contesta el test, de la página 11, del siguiente archivo:

Inferencia

Ejercicios: Distribución proporción muestral

1. En una localidad de 6000 habitantes, la proporción de menores de 16 años es p=1/4.

a) ¿Cuál es la distribución de la proporción de menores de 16 años en muestras de 50 habitantes de dicha población?.

b) Halla la probabilidad de que, en una muestra de 50 habitantes, haya entre 14 y 20 habitantes menores de 16 años?.

Solución:

a) $p= \frac{1} {4}= 0.25 \qquad \widehat{p} \rightarrow N \left ( 0.25 , \sqrt{ \frac{0.25.(1-0.25)} {50}}\right )$

b)Siendo $n = 50 \qquad \mu = n.p = 12.5 \qquad \sigma = \sqrt{n.p.q}= \sqrt{50. \frac{1} {4}. \frac{3} {4}}= 3.06$

se tiene que: $x \rightarrow N(12.5, 3.06)$

$P(14 \le x \le 20)= P \left ( \frac{13.5-12.5} {3.06}< Z < \frac{20.5-12.5} {3.06} \right ) =$

$= P(Z < 2.61) - P(Z < 0.33) \approx 0.366$

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Distribución muestral de las medias

Vamos a obtener experimentalmente la distribución de las medias muestrales. Para ello consideremos la siguiente población:

Consideremos todas las muestras de tamaño 2 posibles, mediante muestreo aleatorio simple (con reemplazamiento). Hallamos la distribución de probabilidad de la media muestral

Como se puede observar:

$\bar{X} \rightarrow N \left ( \mu, \frac{ \sigma } { \sqrt{n}} \right )$

Si la población es finita y la extracción simultánea o sin reposición, la desviación típica va multiplicada por la siguiente expresión:

$\sqrt{ \frac{N - n} {N - 1}}$

Donde N = tamaño de la población y n = tamaño de la muestra

Actividad 1

Contesta el test, de la página 15, del siguiente archivo:

Inferencia

Ejercicios: Distribución media muestral

1. El peso de los libros de texto de un instituto se distribuyen de forma normal, con un peso media de

μ = 400 g

y una desviación típica de

σ = 50 g

. Si tomamos una muestra aleatoria de tamaño n = 16, hallar la probabilidad de que el peso medio esté entre 375 y 425 g.

Solución:

El peso de los libros es

$X \rightarrow N(400, 50) \Rightarrow \bar{X} \rightarrow N \left ( 400, \frac{50} { \sqrt{16}} \right )= N(400, 12.5)$

$P(375 < \bar{X} < 425)= P \left ( \frac{375-400} {12.5}< Z < \frac{425-400} {12.5} \right )=$

$P(Z \le 2)- P(Z \le -2) \approx 0.9545$

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Teorema central del límite

La distribución de medias muestrales tiende hacia una distribución normal, aunque las muestras procedan de una distribución no normal. Incrementando el número de muestras extraidas de la población, la distribución de sus medias tiende a normalizarse. (n > 30)