Divisibilidad de polinomios (4ºESO Académicas)

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Polinomios múltiplos y divisores

  • Un polinomio Q(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por Q(x)|P(x)\;, si la división P(x):\,Q(x)\, es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio C(x)\; tal que P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,.
  • En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\, y que P(x)\, es un múltiplo de Q(x)\,.
  • También diremos que Q(x)\, y C(x)\, son factores del polnomio P(x)\,.

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio D(x)\; es el máximo común divisor de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;

si D(x)\; es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

Se dice que el polinomio M(x)\; es el mínimo común múltiplo de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;

si D(x)\; es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Divisibilidad de polinomios


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