Ecuaciones (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Ecuaciones e identidades
2 Elementos de una ecuación
3 Resolver una ecuación
4 Ecuaciones equivalentes
5 Ejercicios propuestos

(Pág. 176)

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Ecuaciones e identidades

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas.
Una identidad es una igualdad entre expresiones algebraicas que es cierta para cualquier valor que le demos a las letras que intervienen.

Ejemplos:

$2x-3=5 \!$ es una ecuación pero no una identidad ya que sólo es cierta para $x=4 \!$
$5x-x=4x \!$ es una identidad ya que es cierta para cualquier valor que le demos a la letra $x\!$ .

Ecuaciones e identidades

Tutorial 1 (7'22") Sinopsis:

¿Qué es una ecuación?

Tutorial 2 (10'51") Sinopsis:

Igualdades, ecuaciones e identidades. Ejemplos.

Tutorial 3 (8'50") Sinopsis:

Igualdades, ecuaciones e identidades. Ejemplos.

Tutorial 4 (2'54") Sinopsis:

Igualdades, ecuaciones e identidades. Ejemplos.

Tutorial 5 (10'51") Sinopsis:

Variables, expresiones y ecuaciones.

Ecuaciones e identidades

Actividad 1a Descripción:

Actividades en la que aprenderás a distinguir una ecuación de una identidad.

Actividad 1b Descripción:

Actividades en la que verás distintos ejemplos en los que expresamos mediante ecuaciones ciertas situaciones reales.

Autoevaluación Descripción:

Actividades sobre ecuaciones e identidades.

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Elementos de una ecuación

En ecuación tenemos dos expresiones algebraicas separadas por un signo igual:

A cada una de esas dos expresiones algebraicas se les llama miembros de la ecuación: el primer miembro es el que está a la izquierda de la igualdad y el segundo miembro el que está a la derecha.
Cada uno de los sumandos que forman cada miembro de la ecuación se llaman términos de la ecuación.
Las incógnitas son las letras que aparecen en los términos.
Las soluciones de la ecuación son los valores que deben tomar las letras para que se cumpla la igualdad.
El grado de una ecuación es el de los polinomios que constituyen sus miembros.

Ejemplos:

En la ecuación

$3x-1=2x\;$

El primer miembro es $3x-1\;$ que está formado por dos términos y el segundo miembro es $2x\;$ que sólo tiene un término.
La incógnita es $x\;$ .
La solución es $x=1\;$ .
Como el grado de los polinomios que intervienen es 1, diremos que esta ecuación es de primer grado. Se trata, por tanto, de una "ecuación de primer grado con una incógnita".

Elementos de una ecuación

Actividad 1a Descripción:

Actividades en la que aprenderás a reconocer los miembros, incógnitas, grado de una ecuación de primer grado y a comprobar si un cierto número es solución.

Actividad 1b Descripción:

Actividades en la que aprenderás a reconocer los miembros, incógnitas, grado de una ecuación de primer grado y a comprobar si un cierto número es solución.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones.

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Resolver una ecuación

Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, si es que existe alguna.

Ejemplos:

Ejemplo 1: Para resolver la ecuación $\sqrt{x+1}=5$ razonaremos de la siguiente manera:

Como la raíz vale 5, el radicando debe valer 25.
Si el radicando debe valer 25, entonces x debe ser una unidad menos, x=24.

Esta no es la forma habitual de resolver ecuaciones. Estudiaremos métodos concretos a lo largo del tema.

Ejemplo 2:

La ecuación $0 \cdot x=0\;$ tiene infinitas soluciones, como podrás razonar fácilmente.

Ejemplo 3:

La ecuación $x+3=x+4\;$ no tiene solución, como podrás razonar fácilmente.
Lo mismo le ocurre a las ecuaciones del tipo $0 \cdot x=k\;$ con $k \ne 0$ . Por ejemplo, $0 \cdot x=5\;$ no tiene solución, pues cualquier número multiplicado por 0 nunca puede dar 5.

Resolver una ecuación

Tutorial (1'00") Sinopsis:

Ecuaciones. Grado. Soluciones. Ejemplo.

Ejercicio (3'31") Sinopsis:

Comprueba cuál de los siguientes valores es solución de la ecuación $5x-3=4x+3\;$

a) $x=5\;$

b) $x=6\;$

c) $x=7\;$

Resolver una ecuación

Autoevaluación 1 Descripción:

Comprueba cuál es la solución de la ecuación dada.

Autoevaluación 2 Descripción:

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

La ecuación

$3x=x+4\;$ [1]

es equivalente a

$2x=4\;$ [2]

Esto es así porque si en la ecuación [1] restas $x\;$ a ambos miembros, la igualdad se mantiene porque hemos quitado la misma cantidad a dos expresiones que eran iguales. Así tenemos que

$3x-x=x+4-x\;$

Agrupando las incógnitas en ambos miembros se obtiene

$2x=4\;$

que es la ecuación [2]. Por tanto [1] y [2] son equivalentes. De hecho se puede comprobar fácilmente que ambas tienen como solución $x=2\;$ .

Ejemplo 2:

La ecuación

$2x=6\;$ [1]

es equivalente a

$x=3\;$ [2]

Esto es así porque si en la ecuación [1] divides por 2 ambos miembros, la igualdad se mantiene porque hemos dividido por la misma cantidad dos expresiones que eran iguales. Así tenemos que

$\cfrac{2x}{2}=\cfrac{6}{2}\;$