Ecuaciones de Primer Grado (PACS)

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Tabla de contenidos

1 Ecuación
- 1.1 Tipos de ecuaciones
2 Ecuación de primer grado
- 2.1 Ecuación de primer grado con una incógnita
3 Ecuaciones equivalentes
4 Resolución de ecuaciones de primer grado
- 4.1 Casos especiales
- 4.2 Actividades
5 Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado

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Ecuación

En Matemáticas, cuando queremos resolver un problema, buscamos uno o varios números que cumplan las condiciones de dicho problema. Dichas condiciones suelen establecerse por medio de ecuaciones que son igualdades que relacionan las variables y números que intervienen en el problema, y que deben satisfacer los números buscados.

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas, en las que aparece una o más letras, llamadas incógnitas. Podemos tener ecuaciones con una incógnita, con dos incógnitas, etc.

Las expresiones algebraicas a ambos lados de la ecuación reciben el nombre de miembros de la ecuación.

Los términos de una ecuación son los monomios que forman cada uno de los miembros de la ecuación. Recuerda que los números pueden considerarse monomios de grado cero.

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que aparecen en la ecuación una vez ésta ha sido reducida (simplificada).

Una solución de una ecuación son los números (uno por cada incógnita) que hacen que la igualdad sea cierta, al sustituir las incógnitas por dichos números.

Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, si es que existe alguna.
Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes. Por tanto, en ellas la igualdad se cumple para cualquier valor de las letras.

Ejemplos:

Ecuaciones con una incógnita:

$x^2+1=3-x \ \rightarrow \ x=1\;\!$ es una solución.

$x+1=3+x \ \rightarrow$ No tiene solución.

Ecuación con dos incógnitas:

$x-2y=x^2+4 \ \rightarrow \ \{x=1,\ y=-2 \}$ es una solución.

Ecuación e identidad Descripción:

Actividades en la que aprenderás a distinguir una ecuación de una identidad.

Solución de una ecuación Descripción:

Actividades en la que aprenderás a comprobar si un número es solución o no de una ecuación.

Autoevaluación: Ecuaciones Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones.

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Tipos de ecuaciones

Hay ecuaciones de diversos tipos, dependiendo de las operaciones en las que intervienen sus incógnitas:

Ecuaciones polinómicas: Las incógnitas son las variables de un polinomio.

Ecuaciones radicales: Las incógnitas aparecen dentro de radicales.

Ecuaciones racionales: Las incógnitas aparecen en los denominadores.

Ecuaciones exponenciales: Las incógnitas aparecen como exponentes.

Ejemplos:

$x^2 - \cfrac{x-1}{3} = 3\,(x-2)$ (es polinómica de grado 2)

$\sqrt{x-2} +x = 5$ (es radical)

$\cfrac{1}{x-1}+x = \cfrac{1}{5}$ (es racional)

$2^x -81=0\;$ (es exponencial)

Autoevaluación: Tipos de ecuaciones Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre tipos de ecuaciones.

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Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado es una ecuación polinómica que, tras ser reducida (simplificada), sólo posee monomios de grado uno. Puede tener una incógnita, dos, etc. según el numero de variables que tenga el polinomio.

Ejemplos:

$3x-2=x+1\;\!$ (Ecuación de primer grado con una incógnita)
$x-2=y+1\;\!$ (Ecuación de primer grado con dos incógnitas)
$xy=x+y-3\;\!$ (No es de primer grado, ya que el polinomio del miembro izquierdo tiene grado 2)

Nota: Una ecuación de primer grado puede no parecerlo antes de reducirla. Será necesario operar y transponer términos antes de poder determinar el tipo de ecuación. Por ejemplo, la ecuación puede tener algunos monomios de grado 2 o superior pero conseguir que éstos desaparezcan tras reducirla, quedando sólo términos de grado 1.

Ejemplos:

$x^2+5x=x(x+1)+1\;\!$ parece de segundo grado, pero al reducirla queda $4x-1=0\;\!$ que es de primer grado.
$5x-3=5(x+1)-4\;\!$ parece de primer grado, pero al reducirla queda $0x=4\;$ , o bien, $0=4\;$ , que es de grado cero.

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Ecuación de primer grado con una incógnita

Solución de la ecuación de primer grado con una incógnita

Toda ecuación de primer grado con una incógnita se puede reducir a la forma:

$ax+b=0\;\!$

con $a \ne 0$ , cuya única solución es:

$x= -\cfrac{b}{a}$

Nota: Si al reducir la ecuación de partida resulta que el coeficiente de primer grado es $a=0\;$ , entonces la ecuación de partida no es realmente de primer grado, sino de grado cero. Estos caso especiales los estudiaremos en otro apartado de este tema.

Ejemplos:

En la siguiente escena tienes ejemplos de soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Pulsa los botones para ver más ecuaciones.

Ecuación de primer grado con una incógnita Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita sencillas.

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Transformaciones que mantienen la equivalencia de las ecuaciones

A partir de una ecuación podemos obtener otra equivalente si efectuamos alguna de las siguientes operaciones:

Regla de la suma: Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la igualdad. (Así, lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro. Y viceversa.)
Regla del producto: Multiplicar o dividir los dos miembros de la igualdad por un mismo número distinto de cero. (Así, lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa.)

Reducir ecuaciones a su forma general (6'08") Sinopsis:

Tutorial en el que se muestra como expresar cualquier ecuación en su forma general o canónica. El proceso requerirá del uso de la regla de la suma y del producto para obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas.

Autoevaluación: Ecuaciones equivalentes Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones equivalentes.

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Resolución de ecuaciones de primer grado

Procedimiento

Para resolver una ecuación de primer grado hay que transformarla en otras ecuaciones equivalentes, cada vez más sencillas, hasta conseguir despejar la incógnita.

Los pasos que hay que dar pueden ser los siguientes, aunque algunos pueden variar de orden según los casos:

Quitar denominadores, si los hay (multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores).
Quitar paréntesis, si los hay.
Transponer términos, pasando las incógnitas a un lado y los números al otro (Usaremos la primera de las transformaciones descritas en el apartado anterior)
Simplificar cada miembro (agrupando términos numéricos y términos con incógnita) hasta obtener una expresión del tipo $a \cdot x = b$ .
Despejar la incógnita, x, obteniendo la solución (Usaremos la segunda de las transformaciones descritas en el apartado anterior, siempre que $a \ne 0$ . (Si fuese $a=0\,$ , estaríamos un caso especial que se analizará en el apartado de "casos especiales".)
Podemos, opcionalmente, comprobar la solución. Para ello sustituiremos la incógnita por la solución en los dos miembros de la ecuación de partida y los resultados deben coincidir.

Ejercicios resueltos

Resuelve la siguiente ecuación:

$\cfrac{3x-1}{20}-\cfrac{2(x+3)}{5}=\cfrac{4x+2}{15}-5$

Solución:

Solución: $x=7\,$

Ejemplos: Ecuaciones de primer grado sencillas

Pulsa el botón EJEMPLO para ver más ecuaciones.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejemplos: Ecuaciones de primer grado con paréntesis

Pulsa el botón EJEMPLO para ver más ecuaciones.

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Ejemplos: Ecuaciones de primer grado con denominadores

Pulsa el botón EJEMPLO para ver más ecuaciones.

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Casos especiales

Tras efectuar el procedimiento anterior, si en la expresión $a \cdot x=b\;$ del paso 4º, resultase que el coeficiente de la variable $x\;$ es cero, tendríamos:

$0 \cdot x=b\,$

Entonces, al no poder dividir por 0 para despejar la $x\;$ (paso 5º), llegaríamos a uno de los siguientes dos casos especiales:

Casos especiales

$0 \cdot x = b \, , \ (b \ne 0) \ \rightarrow$ La ecuación no tiene solución.

$0 \cdot x = 0 \ \rightarrow$ La ecuación tiene infinitas soluciones.

Demostración:

$0 \cdot x = b \, , \ (b \ne 0) \ \rightarrow$ Si $b \ne 0$ , como el miembro de la izquierda es siempre igual a cero, sea cual sea el valor de $x\;$ , la igualdad es imposible. Por tanto no hay solución.

$0 \cdot x = 0 \ \rightarrow$ El miembro de la izquierda es siempre igual a cero, por tanto, sea cual sea el valor de $x\;$ , la igualdad se cumple. Luego, cualquier número es solución de la ecuación.

Ejemplos

$3x-7=3x \ \rightarrow \ 0 \cdot x = 7 \ \rightarrow$ No tiene solución, ya que no hay ningún número que multiplicado por 0 de 7.

$2(x-1)+2 = 2x \ \rightarrow \ 0 \cdot x = 0 \ \rightarrow$ La ecuación tiene infinitas soluciones, ya que cualquier número multiplicado por 0 da 0.

Casos especiales

Ejercicio 1 (5'29") Sinopsis:

Resuelve:

a) $-7x+2=2x+2-9x\;$

b) $-7x+3=2x+2-9x\;$

c) $-7x+3=2x+2\;$

Ejercicio 2 (5'29") Sinopsis:

Resuelve:

$8 \, (3x+10)=28x-14-4x\;$

Ejercicio 3 (1'31") Sinopsis:

Completa la ecuación para que no tenga solución:

7x - 9 = ___ x + ___

Ejercicio 4 (1'56") Sinopsis:

Completa la ecuación para que tenga infinitas soluciones:

4(x - 2) + x = 5x + ___

Casos especiales

Autoevaluación 1 Descripción:

Número de soluciones de una ecuación de primer grado.

Autoevaluación 2 Descripción:

Número de soluciones de una ecuación de primer grado.

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Actividades

Resolución de ecuaciones de primer grado

Actividad: Resolución de ecuaciones de primer grado

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $\cfrac{x-1}{4}-\cfrac{x-5}{36}=\cfrac{x+5}{9}\;$

b) $\cfrac{3}{4}(2x+4)=x+19 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve (x-1)/4 - (x-5)/36 = (x+5)/9

b) solve 3/4 (2x+4)=x+19

Resolución de ecuaciones de primer grado

Ejercicio 1 (6'16") Sinopsis:

Resuelve: $15x-[8x-(2-10x)]=24x+[-(3x+7)-(x+1)]\;$

Ejercicio 2 (5'29") Sinopsis:

Resuelve: $2x(5-9x)+13=3x(1+2x)-7-6x(4x-9)\;$

Ejercicio 3 (7'42") Sinopsis:

Resuelve: $14-(5x-1)(2x+3)=17-(10x+1)(x-6)\;$

Ejercicio 4 (7'26") Sinopsis:

Resuelve: $3(x-2)^2-4(x+1)^2+(x-6)(x-7)-5(8-10x)=-24\;$

Ejercicio 5 (3'12") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{4}{x-3}=\cfrac{5}{x-2}\;$

Ejercicio 6 (6'37") Sinopsis:

Resuelve:

a) $x(x-2)-x^2=4-2x\;$

b) $(x-3)(1+2x)-2x(x-4)=-12\;$

Ejercicio 7 (10'40") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\cfrac{x}{2}+\cfrac{x-1}{3}+\cfrac{x+1}{6}=1\;$

b) $\cfrac{x-3}{2}-\cfrac{x-1}{6}=1\;$

c) $\cfrac{x+1}{3}-\cfrac{x-2}{6}-\cfrac{x-1}{2}=0\;$

Ejercicio 8 (8'22") Sinopsis:

Resuelve:

a) $-\cfrac{3(x-2)}{5}+1=-2x+\cfrac{x+1}{2}\;$

b) $\cfrac{2(x-2)}{6}-\cfrac{11}{2}=3 \left(1-\cfrac{x}{2} \right)\;$

Ejercicio 8 (4'38") Sinopsis:

Resuelve:

a) $2(5-3x)+x+7=4(2x-1)+2x-9\;$

b) $3(x-2)+7x=2(5x-3)+1\;$

Ejercicio 9 (4'43") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\cfrac{x-5}{3}+\cfrac{3}{2}=\cfrac{x}{2}\;$

b) $\cfrac{x-3}{4}+\cfrac{3x+1}{10}=\cfrac{2x-3}{5}-\cfrac{1}{2}\;$

Ejercicio 10 (8'27") Sinopsis:

Despeja x en la siguiente ecuación con coeficientes desconocidos:

$ax+3x=bx]5\;$

Resolución de ecuaciones de primer grado

Actividad Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de primer grado más complejas.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre resolución de ecuaciones de primer grado.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre ecuaciones de primer grado.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ecuaciones de primer grado con coeficientes desconocidos.

Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de primer grado.

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Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado

Procedimiento

Para resolver un problema mediante una ecuación hay que seguir los siguientes pasos:

Determinar la incógnita.
Traducir el enunciado del problema al lenguaje algebraico mediante una ecuación en la que intervenga la incógnita.
Resolver la ecuación, es decir, hallar el valor de la incógnita.
Dar la solución del problema a partir del valor obtenido de la incógnita.

Ejemplos:

Aquí tienes una colección de problemas con un nivel de dificultad bajo para que vayas cogiendo práctica.

Pulsa el botón EJEMPLO para ver más problemas.

Pulsa el botón DATOS para ver otro problema similar, pero con datos diferentes.

Click aquí si no se ve bien la escena

Problemas con ecuaciones de primer grado

Planteamiento de problemas:

Tutorial (12´11") Sinopsis:

Como se traducen expresiones del lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas y su uso en el planteamiento de ecuaciones.

Problemas 1 (13´54") Sinopsis:

2 problemas.

Problema 2 (5´39") Sinopsis:

1 problema.

Problemas 3 (9´41") Sinopsis:

2 problemas.

Problema 4 (8´00") Sinopsis:

1 problema.

Problemas 5 (10´19") Sinopsis:

2 problemas.

Problema 6 (7´28") Sinopsis:

1 problema.

Problema 7 (11´53") Sinopsis:

1 problema.

Problemas:

Problema 1 (4'43") Sinopsis:

Al levantarse por la mañana, el ratoncito Pérez encuentra un trozo de pan. Se come 3/5 para desayunar y 7/8 del resto para merendar, con lo que le quedan 10 gramos para la cena. ¿Cuanto pesaba el pan?

Problemas 2 (9'54") Sinopsis:

Determina el respectivo precio de bocadillos y refrescos en un bar si un bocadillo cuesta un euro más que un refresco y el importe de una consumición de 3 refrescos y 5 bocadillos es de 2 euros.
Tres hermanos tienen respectivamente 7,9 y 12 años, y su madre 36 años. ¿Cuántos años deben pasar para que la edad de la madre sea suma de las edades de sus hijos?
La edad de un hijo es la quinta parte de la de su padre, y dentro de 7 años, la edad del padre triplicara la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?
Un hijo tiene 30 años menos que su padre, y la edad de este cuadruplica la de aquél. ¿Qué edad tiene cada uno?

Problema 3 (2'33") Sinopsis:

Un reloj marca las 6 en punto. ¿A qué hora forman las agujas por primera vez un ángulo de 92 grados?

Problema 4 (3'41") Sinopsis:

Un reloj marca las 6 en punto. ¿A qué hora forman las agujas por segunda vez un ángulo de 90 grados?

Problema 5 (3'27") Sinopsis:

Un reloj marca las 6 en punto. ¿A qué se superponen las agujas por primera vez?

Problema 6 (5'54") Sinopsis:

Los ángulos de un triángulo miden $(2x-30)^o\,$ , $(x+15)^o\,$ y $(3x+75)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

Problema 7 (3'06") Sinopsis:

Los ángulos de un cuadrilátero miden $(5x-8)^o\,$ , $(4x+4)^o\,$ , $(6x+14)^o\,$ y $(7x-2)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

Problemas 8 (12'46") Sinopsis:

3 problemas con números consecutivos

Problema 9 (5'27") Sinopsis:

Determinar el área de un rectángulo que tiene 60 cm de perímetro, si la razón entre sus lados es 3:2.

Problema 10 (4'42") Sinopsis:

Hallar tres números consecutivos cuya suma sea igual al doble del mayor, incrementado en 26.

Problema 11 (6'39") Sinopsis:

Un comerciante tiene 3000$ para invertir en dos negocios: uno que produce un 5% de beneficio y otro un 9%. ¿Qué cantidad debe destinar a cada negocio para conseguir un rendimiento neto del 8% con ese capital?.

Problema 12 (6'27") Sinopsis:

Si tenemos 2000$ para invertir al 6% y al 8.5% anual, ¿cuánto deberemos destinar a cada inversión con el fin de obtener un rendimiento total de 300$ después de 2 años?.

Problema 13 (5'19") Sinopsis:

Una empresa fabrica un artículo con un coste variable por unidad de 3$. Si los costes fijos son de 75000$ y cada artículo se vende por 5$, ¿cuántas unidades deben producirse y vender para que la empresa obtenga unos beneficios de 40000$?

Problemas 14 (16'08") Sinopsis:

Vídeotutorial con 4 problemas que se resuelven utilizando ecuaciones.

Problemas 15 (13'45") Sinopsis:

Tutorial practico en el que aparecen dos problemas resueltos mediante ecuaciones. Estos problemas son del tipo en el que se reparte algo entre varias personas y existe una relación entre lo que recibe cada uno de ellos.

Problema 16 (14'35") Sinopsis:

Problema con porcentajes.

Problemas de edades:

Problemas 1 (12´20") Sinopsis:

2 problemas.

Problema 2 (7´10") Sinopsis:

1 problema.

Problema 3 (8´26") Sinopsis:

1 problema.

Problema 4 (5´42") Sinopsis:

1 problema.

Problema 5 (7´32") Sinopsis:

1 problema.

Problema 6 (13´12") Sinopsis:

1 problema.

Problema 7 (8´51") Sinopsis:

1 problema.

Problema 8 (3'46") Sinopsis:

En 40 años, Benito tendrá 11 veces la edad que tiene actualmente. ¿Qué edad tiene Benito?

Problemas de mezclas:

Problema 1 (11'08") Sinopsis:

Problema de mezclas con sales de baño.

Problema 2 (9'18") Sinopsis:

Se dispone de dos clase de café: uno de 1.05$ y otro de 1.25$ la libra. ¿Qué cantidad se utiliza de cada uno para obtener café de 1.20$ la libra, si de la clase más cara se utilizan 20 libras más que de la barata?

Problema 3 (4'52") Sinopsis:

¿Cuántos litros de una solución de alcohol al 30% deben mezclarse con 90 litros de otra solución al 70% para obtener una solución al 60%?

Problema 4 (6'46") Sinopsis:

Si tienes 50 onzas de una solución salina al 25% (mezcla de agua con sal), ¿Cuántas onzas de solución salina al 10% debes agregar para obtener una nueva solución salina al 15%?

Problema 5 (4'10") Sinopsis:

Un biólogo realiza una investigación sobre el impacto de tres diferentes bebidas azucaradas a base de agua en la habilidad de las abejas de producir miel. Coge 2 litros de la bebida A, que contiene 40% de azúcar, y agrega 1.2 litros de bebida B. Comprobó que las abejas preferían esta nueva solución, que llamaremos bebida C, la cual medimos que contiene 25% de azúcar. ¿Cuál es el porcentaje de azúcar de la bebida B?

Problemas con segmentos:

Problema 1 (2'34") Sinopsis: