Ecuaciones de primer grado

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Ecuación

En Matemáticas, cuando queremos resolver un problema, buscamos uno o varios números que cumplan las condiciones de dicho problema. Dichas condiciones suelen establecerse por medio de ecuaciones que son igualdades que relacionan las variables y números que intervienen en el problema, y que deben satisfacer los números buscados.

  • Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas, en las que aparece una o más letras, llamadas incógnitas. Podemos tener ecuaciones con una incógnita, con dos incógnitas, etc.
  • Las expresiones algebraicas a ambos lados de la ecuación reciben el nombre de miembros de la ecuación.
  • Los términos de una ecuación son los monomios que forman cada uno de los miembros de la ecuación. Recuerda que los números pueden considerarse monomios de grado cero.
  • El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que aparecen en la ecuación una vez ésta ha sido reducida (simplificada).
  • Una solución de una ecuación son los números (uno por cada incógnita) que hacen que la igualdad sea cierta, al sustituir las incógnitas por dichos números.
  • Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, si es que existe alguna.
  • Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes. Por tanto, en ellas la igualdad se cumple para cualquier valor de las letras.

Tipos de ecuaciones

Hay ecuaciones de diversos tipos, dependiendo de las operaciones en las que intervienen sus incógnitas:

  • Ecuaciones polinómicas: Las incógnitas son las variables de un polinomio.
  • Ecuaciones radicales: Las incógnitas aparecen dentro de radicales.
  • Ecuaciones racionales: Las incógnitas aparecen en los denominadores.
  • Ecuaciones exponenciales: Las incógnitas aparecen como exponentes.

Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado es una ecuación polinómica que, tras ser reducida (simplificada), sólo posee monomios de grado uno. Puede tener una incógnita, dos, etc. según el numero de variables que tenga el polinomio.

Nota: Una ecuación de primer grado puede no parecerlo antes de reducirla. Será necesario operar y transponer términos antes de poder determinar el tipo de ecuación. Por ejemplo, la ecuación puede tener algunos monomios de grado 2 o superior pero conseguir que éstos desaparezcan tras reducirla, quedando sólo términos de grado 1.

Ecuación de primer grado con una incógnita

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Solución de la ecuación de primer grado con una incógnita


Toda ecuación de primer grado con una incógnita se puede reducir a la forma:

ax+b=0\;\!

con a \ne 0, cuya única solución es:

x= -\cfrac{b}{a}
.

Nota: Si al reducir la ecuación de partida resulta que el coeficiente de primer grado es a=0\;, entonces la ecuación de partida no es realmente de primer grado, sino de grado cero. Estos caso especiales los estudiaremos en otro apartado de este tema.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

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Transformaciones que mantienen la equivalencia de las ecuaciones


A partir de una ecuación podemos obtener otra equivalente si efectuamos alguna de las siguientes operaciones:

  • Regla de la suma: Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la igualdad. (Así, lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro. Y viceversa.)
  • Regla del producto: Multiplicar o dividir los dos miembros de la igualdad por un mismo número distinto de cero. (Así, lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa.)

Resolución de ecuaciones de primer grado

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Procedimiento


Para resolver una ecuación de primer grado hay que transformarla en otras ecuaciones equivalentes, cada vez más sencillas, hasta conseguir despejar la incógnita.

Los pasos que hay que dar pueden ser los siguientes, aunque algunos pueden variar de orden según los casos:

  1. Quitar denominadores, si los hay (multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores).
  2. Quitar paréntesis, si los hay.
  3. Transponer términos, pasando las incógnitas a un lado y los números al otro (Usaremos la primera de las transformaciones descritas en el apartado anterior)
  4. Simplificar cada miembro (agrupando términos numéricos y términos con incógnita) hasta obtener una expresión del tipo a \cdot x = b.
  5. Despejar la incógnita, x, obteniendo la solución (Usaremos la segunda de las transformaciones descritas en el apartado anterior, siempre que a \ne 0. Si fuese a=0\,, estaremos un caso especial que se analizará en el apartado de "casos especiales".)
  6. Podemos, opcionalmente, comprobar la solución. Para ello sustituiremos la incógnita por la solución en los dos miembros de la ecuación de partida y los resultados deben coincidir.

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Ejercicios resueltos


Resuelve la siguiente ecuación:

\cfrac{3x-1}{20}-\cfrac{2(x+3)}{5}=\cfrac{4x+2}{15}-5

Casos especiales

Tras efectuar el procedimiento anterior, si en la expresión a \cdot x=b\; del paso 4º resulta que a=0\,, al no poder dividir por 0 para despejar la x (paso 5º), llegaremos a uno de los siguientes dos casos especiales:

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Casos especiales


  • 0 \cdot x = b \, , \ (b \ne 0) \ \rightarrow La ecuación no tiene solución.
  • 0 \cdot x = 0 \ \rightarrow La ecuación tiene infinitas soluciones.

Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado

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Procedimiento


Para resolver un problema mediante una ecuación hay que seguir los siguientes pasos:

  1. Determinar la incógnita.
  2. Traducir el enunciado del problema al lenguaje algebraico mediante una ecuación en la que intervenga la incógnita.
  3. Resolver la ecuación, es decir, hallar el valor de la incógnita.
  4. Dar la solución del problema a partir del valor obtenido de la incógnita.

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Ejercicios resueltos


  1. Un repostero ha mezclado 12 kg de azúcar de 1.10 €/kg con una cierta cantidad de miel de 4.20 €/kg para que la mezcla le salga a 2.34 €/kg. ¿Cuánta miel tuvo que poner?
  2. La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 280 km. Untren sale de A hacia B a 80 km/h, y media hora más tarde sale un coche de B hacia A que tarda 1.2 horas en cruzarse con el tren. ¿Qué velocidad lleva el coche?
  3. Tres amigos trabajan 20, 30 y 50 días en un negocio. Al cabo de tres meses se reparten los beneficios y al tercero le corresponden 300 € más que al segundo. ¿Cuál es la cantidad repartida?
  4. Dos grifos llenan un depósito en 3 horas. Si sólo se abre uno de ellos, tardaría 5 horas. ¿Cuánto tardará el otro grifo en llenar el depósito?

Actividades

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