Familias de funciones elementales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Funciones elementales
2 Funciones lineales
3 Funciones cuadráticas
4 Funciones irracionales
5 Funciones de proporcionalidad inversa
6 Funciones exponenciales
7 Funciones logarítmicas
8 Funciones trigonométricas
9 Ejercicios propuestos

(Pág. 250)

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Funciones elementales

Una función elemental es una función construida a partir de una cantidad finita de funciones elementales fundamentales mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potencia y composición. (La radicación también, pues sería un caso particular de potencia)

Las funciones elementales fundamentales son: exponenciales, logarítmicas, potenciales, constantes, y trigonométricas.

[Ver wikipedia]

Las funciones elementales pueden ser de dos tipos: algebraicas y trascendentes.

Las funciones algebraicas son aquellas en las que las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación (y radicación).
Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas.

Funciones algebraicas y trascendentes (8'51") Sinopsis:

La función "f" se dice "algebraica" si las operaciones que deben realizarse para determinar el número real "f(x)" son las llamadas algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación de exponente constante y radicación de índice constante. Si "f" no es algebraica, se dice "trascendente".

Ejemplos de funciones elementales Descripción:

En esta escena podrás ver la representación de algunas funciones elementales.

Pasamos a ver distintas familias de funciones elementales.

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Funciones lineales

Sean $m, \, n \in \mathbb{R}$ . Se define la función lineal como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ \, \qquad \qquad \qquad x \rightarrow y=mx+n \end{matrix}$

El número real $m\;$ recibe el nombre de pendiente.
El número real $n\;$ recibe el nombre de ordenada en el origen.

Si $n=0\;$ se llama función de proporcionalidad directa.
Si $n \ne 0\;$ se llama función afín.

Función lineal

Propiedades de la función lineal

Las funciones lineales $y=mx+n\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ .
Su gráfica es una recta que cortan al eje Y en $(0,n)\;$ .
Si $m>0\;$ son crecientes, si $m<0\;$ son decrecientes y si $m=0\;$ son constantes.

La función lineal Descripción:

Representación de la familia de funciones lineales.

Utilidad de las funciones lineales

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Funciones cuadráticas

Sean $a, \, b, \, c \in \mathbb{R} \ (a \ne 0)$ . Se define la función cuadrática como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ \, \qquad \qquad \qquad \qquad x \rightarrow y=ax^2+bx+c \end{matrix}$

Propiedades de la función cuadrática

Las funciones lineales $y=ax^2+bx+c\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ .
Su gráfica es una parábola con las ramas hacia arriba si $a>0\;$ y hacia bajo si $a<0\;$ .
Su gráfica es simétrica respecto de un eje de ecuación $x=-\cfrac{b}{2a}$ que pasa por el vértice de la parábola.

Distintos ejemplos de funciones cuadráticas. Observa como afecta el valor de a en la amplitud de la parábola y en la dirección de las ramas

La función cuadrática Descripción:

Representación de la familia de funciones cuadráticas.

Utilidad de las funciones cuadráticas

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Funciones irracionales

Sea $n \in \mathbb{N} \ (n>1)\;$ . Se define la función raíz de índice n como:

$y=\sqrt[n]{x}$

Propiedades de la función irracional

Las funciones del tipo $y=\sqrt[n]{x}$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ si $n\;$ es impar y $D_f=\mathbb{R}^+$ si $n\;$ es par.
Su inversa es la función $y=x^n\;$
Cortan al eje X en x=0 y siempre son positivas.

Funciones irracionales y sus recíprocas, las potencias.

La función irracional Descripción:

Representación de la familia de funciones irracionales.

Utilidad de las funciones irracionales

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Funciones de proporcionalidad inversa

Sea $k \in \mathbb{R}\, , (k \ne 0)$ . Las función de proporcionalidad inversa se define como

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R_*} \rightarrow \mathbb{R} \\ \, \qquad \quad \ \ x \rightarrow y=\cfrac{k}{x} \end{matrix}$

El numero $k\;$ recibe el nombre de constante de proporcionalidad inversa.

Este tipo de funciones se llaman así porque si $x\;$ e $y\;$ son cantidades correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales, con constante de proporcionalidad $k\;$ , entonces sabemos que se cumple que $x \cdot y = k \;$ .

Propiedades de la función de proporcionalidad inversa

Las funciones de proporcionalidad inversa $y=\cfrac{k}{x}\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son funciones continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R_*}=\mathbb{R}-\{0\}$ .
Son crecientes si $k<0\;$ y decrecientes si $k>0\;$ .
No tienen puntos de corte con los ejes.
La gráfica de esta función es una hipérbola equilátera:

Sus ramas son simétricas respecto del origen de coordenadas.
Sus asíntotas son los propios ejes de coordenadas.

Funciones de proporcionalidad inversa

La función de proporcionalidad inversa Descripción:

Representación de la familia de funciones de proporcionalidad inversa.

Una función homográfica es una función racional del tipo:

$\ y = \cfrac{ax+b}{cx+d}$

Proposición

Si transformamos una función de proporcionalidad inversa por medio de traslaciones horizontales y verticales, el resultado es una función homográfica.

Demostración:

Si partimos de una función de proporcionalidad inversa:

$\ y = \cfrac{k}{x}$

y sobre ella efectuamos traslaciones verticales y horizontales, nos quedaría:

$\ y = \cfrac{k}{x+m}+n$

Desarrollando esta expresión:

$\ y = \cfrac{k+nx+nm}{x+m}=\cfrac{nx+(nm+k)}{x+m}$

que es de tipo homográfico.

La función homográfica Descripción:

Representación de la familia de funciones homográficas.

Utilidad de la función de proporcionalidad inversa

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Funciones exponenciales

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función exponencial de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \\ \, \qquad \quad x \rightarrow y=a^x \end{matrix}$

La función exponencial de base $e = 2,7182...\;$ (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.

Funciones exponenciales

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ .
Pasan por $(0,1)\;$ y $(1,a)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.

Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Funciones exponenciales

La función exponencial

Tutorial 1a (13'27") Sinopsis:

La función exponencial:

Definición.
Clasificación.
Análisis y representación gráfica de la función exponencial de base 2.

Tutorial 1b (14'20") Sinopsis:

La función exponencial:

Definición.
Clasificación.
Análisis y representación gráfica de la función exponencial de base 1/2.

Tutorial 2 (8'32") Sinopsis:

Valor inicial y razón común de una función exponencial.

Ejercicio 1 (6'18") Sinopsis:

Representa la función exponencial de base 3.

Ejercicio 2 (7'42") Sinopsis:

Representa la función exponencial de base 5.

Ejercicio 3 (4'45") Sinopsis:

Dadas tres gráficas de funciones exponenciales, elige la que se corresponde con una ecuación dada.

Ejercicio 4 (5'52") Sinopsis:

Problemas sobre modelos exponenciales vs. modelos lineales.

Ejercicio 5 (4'04") Sinopsis:

Representa gráficamente:

a) $h(x)=\cfrac{1}{2} \cdot \left(\cfrac{1}{5}\right)^x$

b) $h(x)=-12 \cdot 4^x$

Ejercicio 6 (2'46") Sinopsis:

Escribe la expresión analítica de una función exponencial con valor inicial -2 y razón 1/7.

Ejercicio 7 (8'46") Sinopsis:

Escribe la expresión analítica de una función lineal y otra exponencial a partir de la tabla de valores dada en el video.

Ejercicio 8 (11'08") Sinopsis:

Escribe la expresión analítica de una función lineal y otra exponencial a partir de la gráfica dada en el video.

Ejercicio 9 (10'50") Sinopsis:

Escribe la expresión analítica de una función exponencial a partir de la tabla dada en el video.

Ejercicio 10 (6'28") Sinopsis:

Escribe la expresión analítica de una función exponencial a partir de la gráfica dada en el video.

Ejercicio 11 (8'38") Sinopsis:

Averigua para qué valor de $x\;$ se cumple que $f(x)=-\cfrac{1}{25}$ .

Problema 1 (7'23") Sinopsis:

Una sustancia radioactiva se desintegra a una tasa del 3.5% por hora. ¿Qué porcentaje de sustancia queda después de 6 horas?

Problema 2 (8'00") Sinopsis:

Averigua la expresión analítica de una función exponencial a partir de un enunciado y una tabla.

La función exponencial

Actividad Descripción:

Representación de la familia de funciones exponenciales.

Autoevaluación 1 Descripción:

Modelos exponenciales vs. modelos lineales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Crecimiento exponencial vs. crecimiento lineal en el tiempo.

Autoevaluación 3 Descripción:

Representación gráfica de funciones exponenciales.

Autoevaluación 4 Descripción:

Funciones exponenciales a partir de tablas y gráficas.

Utilidad de la función exponencial

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Funciones logarítmicas

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ .

La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio: $D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes.
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .

La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .