Funciones: Crecimiento, Máximos y Mínimos (4ºESO Académicas)
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(Pág. 89)
Tabla de contenidos |
Crecimiento y variación de una función
- Una función es creciente en un intervalo I cuando al aumentar la variable independiente
en ese intervalo, aumenta la variable dependiente
.
![\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)](/wikipedia/images/math/d/d/6/dd61edefc4b6b41280e99a7b98838517.png)
- Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente
en ese intervalo, disminuye la variable dependiente
.
![\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)](/wikipedia/images/math/3/a/c/3ac21a35b776abfd4f4e51fd1d28d383.png)
- Una función es constante en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente
en ese intervalo, la variable dependiente
no varía, siempre toma un mismo valor
.
![f(x)=k \ , \forall x \in I](/wikipedia/images/math/e/2/e/e2eb2436e93077ee14ae028356f0d2f6.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Tutorial en el que se explica el estudio del crecimiento de una función dada su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se explica el estudio del crecimiento de una función dada su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Conceptos de función creciente, decreciente y constante.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.
Actividades con las que aprenderás a determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver cuando una función es creciente, decreciente o constante.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
Se llama variación de una función en un intervalo
, a lo que varía la variable dependiente de un extremo a otro del intervalo:
![\Delta f_{[a,b]}=f(b)-f(a)\;](/wikipedia/images/math/f/1/e/f1ebdfa1d125fb540c0cf9d9b00d9152.png)
Extremos relativos de una función
- Una función
tiene un máximo relativo en un punto
cuando
es mayor que los valores que toma la variable
en un intervalo entorno al punto.
- Una función
tiene un mínimo relativo en un punto
cuando
es menor que los valores que toma la variable
en un intervalo entorno al punto.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Tutorial en el que se explica el estudio de máximos y mínimos (relativos y absolutos) de una función dada su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se explica el estudio de máximos y mínimos (relativos y absolutos) de una función dada su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Conceptos de máximo y mínimo relativos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.
Actividades con las que aprenderás a determinar los máximos y mínimos de una función dada gráficamente.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver cuando una función alcanza un máximo o un mínimo.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
Interpreta la siguiente gráfica que muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid. Averigua sus máximos y mínimos relativos.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
Construye una gráfica que cumpla ciertas condiciones sobre los puntos por los que pasa. Se exigira, por ejemplo, que tenga máximos o mínimos en ciertos puntos, que tenga ciertos puntos de corte con los ejes, etc.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
Unos alumnos de E.S.O. disponen de una cuerda de 80 metros de longitud con la que quieren construir rectángulos en el patio de su centro.
- Haz una tabla de valores donde se relacione la base de los rectángulos y su área.
- Representa gráficamente la función.
- Halla una expresión que te permita calcular el área de cualquiera de esos rectángulos, conocida su base.
- ¿Cuál es el dominio de esta función?
- ¿Para qué valor del lado se consigue un rectángulo de área máxima? ¿Qué tiene de peculiar ese valor?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Máximos y mínimos relativos o locales.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Máximos y mínimos absolutos.
Actividad: Extremos relativos Nota para los cursos de secundaria: Algunas de las siguientes actividades son sólo ilustrativas ya que su resolución manual requiere conocimientos de 1º de bachillerato.
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Actividades y videotutoriales
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Interpreta la gráfica dada.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Interpreta la gráfica dada.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Problemas verbales de interpretación de gráficas.
Ejercicios resueltos: Crecimiento. Máximos y mínimos |
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Crecimiento, Máximos y Mínimos |
Tasa de variación media
Para medir el crecimiento medio de una función en un intervalo [a,b], se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.) o tasa de cambio, que se define como el cociente de la variación de y entre la variación de x:
Si hacemos
Proposición La T.V.M. de una función en un intervalo |
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Definición de tasa de variación media de una función.
- Ejemplo a partir de la gráfica de la función.
- Ejemplo a partir de la expresión analítica de la función.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Definición de tasa de variación media o tasa de cambio de una función f en el intervalo [a,a+h].
- Interpretación geométrica.
- Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Tasa de variación media de una recta
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Tasa de variación media de una parábola. Interpretación con un ejemplo de la vida cotidiana.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Calcula la T.V.M. de f(x) = x2 + 2; en [1,4].
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Calcula la T.V.M. de:
- a) d(t) = 3t + 1; en [0,1] y [1,2].
- b) d(t) = t2 + 1; en [0,3] y [2,3].
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
A partir de la gráfica, determina el intervalo en el cual la T.V.M. de la función es -4.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
A partir de la tabla, determina la T.V.M. de la función en el intervalo [-5, -2].
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Dada la función , ¿sobre cuál de los siguientes intervalos tiene T.V.M. igual a 1/2: [-2, 2], [0, 4], [-3, 2], [-4, 1] ?
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Cálcula la T.V.M. de en el intervalo [x, x+h].
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una tabla.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Tasa de variación media.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás calcular la T.V.M. de la función que tú quieras.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Tasa de variación media.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Problemas verbales sobre la tasa de variación media.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Tasa de variación media |