Funciones: Definición (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Concepto de función

Sean A y B conjuntos. Se llama función entre A y B a cualquier relación o correspondencia establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

  • Si llamamos f\; a la función entre A y B, ésta podemos expresarla simbólicamente:

f: A \rightarrow B

  • Al conjunto A se le denomina dominio o conjunto origen y al B codominio, conjunto imagen, rango o recorrido.
  • A un objeto o valor genérico del dominio A se le denomina variable independiente; y a un objeto genérico del codominio B, variable dependiente.
  • Sea x \in A\;, al elemento de B que se corresponda con x\; lo representaremos por f(x)\; y se leerá "imagen de x según f ". (Notación introducida por Euler en 1734)

Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números. En este curso estudiaremos funciones definidas en el conjunto de los números reales: las funciones reales (el conjunto final es un subconjunto de los números reales) de variable real (el conjunto origen es un subconjunto de los números reales).

Función real de variable real

Una función real de variable real, f\;, es una correspondencia entre números reales que asocia a cada elemento x\; de un determinado subconjunto de números reales, Dom\;, llamado dominio, un único número real y\;. En tal caso decimos que "y\; es función de x\;" y lo representamos por y=f(x)\;.

Simbólicamente:

\begin{matrix} f \colon Dom \subset \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \ \qquad \quad  \\ \quad \ x & \rightarrow & y=f(x) \end{matrix}
  • A x\; se le llama la variable independiente y a y\; la variable dependiente.

Operaciones con funciones

Reglas fundamentales

En el estudio de una función (dominio, límites, continuidad, etc.) hay una serie de "reglas sagradas" que hay que tener muy presentes:

  • Prohibido dividir por cero.
  • Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
  • El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.

Puntos de corte con los ejes de una función

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de la gráfica que pertenecen a los ejes de coordenadas:

  • Puntos de corte con el eje de abscisas (eje X): Son aquellos puntos de la función en los que la variable dependiente, y\;, toma el valor cero.
  • Punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y): Es aquel punto de la función en el que la variable independiente, x\;, toma el valor cero.

Signo de una función

  • Una función decimos que es positiva cuando la variable dependiente toma valores positivos y decimos que es negativa cuando toma valores negativos.
  • El estudio del signo de una función consistirá en determinar para qué valores de la variable independiente la función es positiva o negativa.

El estudio del signo de una función va a ser útil en la representación gráfica de funciones y en el estudio del dominio de funciones.

Dominio e imagen de una función

  • Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente x\;, se le llama dominio de definición de la función. Lo representaremos por D_f\; ó Dom_f\;
  • La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y\;. Lo representaremos por Im_f\; o R_f\;.

Razones para restringir el dominio de una función:

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; que incumplan las quie hemos llamdo "reglas sagradas" del Cálculo. (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos, logaritmos de valores no positivos).
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos).
  • Por voluntad de quien propone la función.

ejercicio

Ejemplo: Dominio de definición de una función


Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) y=ln\, (x^2-4)\;
e) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)

Simetrías de una función

  • Una función es par si cumple que: f(x)=f(-x) \ , \forall \, x \in Dom_f. En tal caso la gráfica es simétrica respecto del eje Y.
  • Una función es impar si cumple que: f(x)=-f(-x) \ , \forall \, x \in Dom_f. En tal caso la gráfica es simétrica respecto del origen.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Concepto de función y de dominio de una función


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