Funciones: Tendencias. Periodicidad

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Tendencias

Decimos que una función $y=f(x)\;$ tiende a un valor $y_o\;$ cuando la variable independiente tiende a un valor $x_o\;$ , si los valores de la variable $y\;$ se acercan a $y_o\;$ cuando la variable $x\;$ se acerca a $x_o\;$ .

Simbólicamente:

$\lim_{x \to x_o} f(x)=y_0$

En la anterior expresión la tendencia de la variable independiente puede ser a $+\infty$ o $- \infty$ en vez de $x_o\;$ . Igualmente, la tendencia de la variable dependiente puede ser a $+\infty$ y $- \infty$ en vez de a un valor $y_o\;$ .

Así cuando, por ejemplo, la variable $x\;$ se haga infinitamente grande y los correspondientes valores de la función se acerquen a un valor $y_o\;$ , escribiremos:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=y_0$

Tendencia de una función Descripción:

En esta escena podrás estudiar la tendencia de una función que relaciona la temperatura de un recipiente de agua que se va enfriando y el tiempo que ha transcurrido.

Actividad 1: Tendencias Descripción:

Estudia la tendencia del crecimiento de una población de búhos:

En ocasiones nos interesa saber cómo se comporta la función cuando la variable independiente aumenta mucho o disminuye mucho o cuando se acerca a una valor concreto. A los valores a los que se aproxima es lo que llamamos tendencia de la función. Observa la gráfica de la población de búhos (en miles) en un territorio en función del tiempo. Mueve el punto P para ayudarte a contestar las preguntas:

Observa que la población de búhos se estabiliza en un valor según pasa el tiempo; luego la tendencia de la población es ese valor. Resulta al hacer cada vez más grande el valor de la variable independiente.

a) ¿Cuál es ese valor? (Nota: En el eje Y, 1 cuadrito = 1 millar de búhos)

Lo mismo ocurre cuando se hace cada vez más negativa la variable independiente, aunque esta tendencia no es el mismo valor.

b) ¿Cuál es ese valor?

Actividad 2: Tendencias Descripción:

Estudia la tendencia de la siguiente función:

La tendencia de una función se estudiar también cuando la x se acerca a un número real en vez de a (+/-)infinito. En la escena siguiente recorre la función con el punto P y apunta en tu cuaderno las tendencias de la función.

a) ¿Cuál es el número al que se aproxima cuando la x se hace muy grande, es decir se aproxima a infinito $(+\infty)$ ?

b) ¿Y si x se hace muy grande negativamente, es decir, se aproxima a $- \infty$ ?

c) ¿A qué valor tiende la función cuando nos aproximamos a 2?

Tendencia de una función

Ejercicio 1 (1'11") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'10") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'29") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'18") Sinopsis:

Estudio de las tendencias de una función a partir de su gráfica.

Tendencia de una función

Actividad: Tendencia de una función

a) Averigua la tendencia de la función $f(x)=\cfrac{1}{x}\;$ . cuando $x\;$ se hace infinitamente grande.

b) Observa lo que ocurre en el apartado anterior dibujando la función desde x=0 a x=100000.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) limit x to +oo 1/x

b) plot 1/x {x,0,100000}

Ejercicio Resuelto: Tendencia de una función

1. Compramos un coche por 12.000 €, y cada año que pasa su precio se devalua un 20%.

a) Haz una tabla que exprese el precio del coche durante los próximos años.

b) Representa gráficamente los resultados del apartado a).

c) Encuentra una fórmula que exprese esta función.

d) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?

e) ¿Cuál es el dominio de esta función?. ¿Y su imagen?

f) ¿Cual es la tendencia de esta función segun pasan los años?

g) Describe el crecimiento e indica si tiene máximos o mínimos.

Solución:

a) Tabla de valores:

x	0	1	2	3	4	5	6	7
y	12.000	9.600	7.680	6.144	4.915,2	3.932,2	3.145,7	2.516,6

b) Representación gráfica:

c) Continua.

d) $y=12000 \cdot 0,8^x \quad$ (€)

e) $D=\mathbb{R}^+$ ; $Im=[12.000, \ 0)$ .

f) La función tiende a 0 a medida que transcurre el tiempo.

g) Es decreciente en todo su dominio. Tiene un máximo en

x = 0

y no tiene mínimos.

h) No es periódica.

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Periodicidad

Una función es periódica si su gráfica se va repitiendo a intervalos. Al menor valor posible, T, de la longitud de dicho intervalo, se le llama periodo.

Se cumple:

$f(x)=f(x+T),\quad \forall x \in Dom_f$