Funciones exponenciales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Función exponencial de base a
2 Propiedades
3 El crecimiento exponencial
4 Calculadora
- 4.1 Exponencial de base 10
- 4.2 Exponencial de base e

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Función exponencial de base a

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función exponencial de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \\ \, \qquad \quad x \rightarrow y=a^x \end{matrix}$

La función exponencial de base $e = 2,7182...\;$ (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.

Funciones exponenciales

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Propiedades

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ .
Pasan por $(0,1)\;$ y $(1,a)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.

Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Funciones exponenciales

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El crecimiento exponencial

El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud $M\;$ que crece con el tiempo $t\;$ de acuerdo con la ecuación:

$M_t = M_0 \cdot e^{rt} \,$

Donde:

$M_t\;$ es valor de la magnitud en el instante $t\;$ > 0;

$M_0\;$ es el valor inicial de la variable, valor en $t = 0\;$ , cuando empezamos a medirla;

$r\;$ es la llamada tasa de crecimiento instantánea.

$e = 2,7182...\;$ (número e)

Esta expresión también podemos ponerla como una función exponencial de base $a\;$ haciendo $a=e^r\;$ .

$M_t=M_0 \cdot a^t\;$

Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde)

Ejemplos:

La leyenda del ajedrez

Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición. El número de granos de trigo era:

$2^{64}+ 2^63 + ... + 2^2 + 2\;$

una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino.

Los sumandos de esta expresión respondenr a la función $2^x\;$ , para valores de x = 1, 2, 3, ..., 64.

El interés compuesto e interés continuo

El capital obtenido de la inversión de un capital inicial $C_0\;$ a un interés compuesto $r\;$ en $n\;$ periodos anuales sigue la fórmula:

$C_t = C_0 \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$

siendo $t\;$ el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión.

Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:

$C_t = C_0 \cdot e^{rt}\;$

Desintegración radiactiva

Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si $R_0\;$ es la cantidad inicial de sustancia y $k\;$ la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo $t\;$ será:

$R_t = R_0 \cdot e^{-kt}$

Crecimiento demográfico

Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial, siendo $P_0\;$ la población inicial e $i\;$ el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial: