Funciones lineales: Función afín

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Función lineal

Una función lineal es aquella cuya expresión analítica es o puede ponerse como:

y=mx+n\;
  • x\;\! e y\;\! son variables.
  • m\;\! es una constante que se denomina pendiente.
  • n\;\! es otra constante denominada ordenada en el origen.

Si n \ne 0 recibe el nombre de función afín.

Representación gráfica de la función lineal

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Propiedad


  • La gráfica de una función lineal es una recta que corta al eje de ordenadas en el punto (0,n)\;\!.
  • En consecuencia, para representarla, necesitamos dos puntos, uno de los cuales puede ser el (0,n)\;. El otro punto se obtendrá a partir de la ecuación.

Si m=0\,, las funciones que se obtienen son de la forma y=n\, y reciben el nombre de funciones constantes. Sus gráficas son rectas horizontales (paralelas al eje X).

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Ejemplo: Función lineal


  1. Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. Haz una tabla que relacione el tiempo transcurrido (en minutos) y el volumen (en litros) de estanque que se llena. Escribe la fórmula que relaciona el volumen y el tiempo. Representa gráficamente los resultados.
  2. Repite el apartado anterior suponiendo que el estanque tiene un volumen inicial de 20 litros.
  3. ¿Y si partiésemos de un volumen inicial de 10 litros, cuáles serían los resultados?
  4. Compara las gráficas obtenidas e indica que tienen en común y en qué se diferencian.
  5. ¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica?

Pendiente de una función lineal

Concepto de pendiente

En topografía, la pendiente es la relación que existe entre el desnivel, o distancia en vertical, que debemos superar y la distancia en horizontal que debemos recorrer:

Pendiente = \cfrac{Distancia \ vertical} {Distancia \ horizontal}


Se suele dar en tanto por ciento, para lo cual se multiplica la fracción anterior por 100:

% \, Pendiente = \cfrac{Distancia \ vertical} {Distancia \ horizontal} \cdot 100

Así, por ejemplo, una rampa con un ángulo de inclinación de 45º tiene una pendiente del 100%.

Este concepto topográfico de pendiente tiene mucho que ver con el concepto de pendiente de una función lineal si consideramos la recta, su gráfica, como si fuese una rampa. No obstante, la pendiente de una función lineal puede tomar valores negativos, mientras que la pendiente topográfica siempre es positiva, como podrás comprobar en la siguiente actividad interactiva.

Cálculo de la pendiente

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Proposición


Consideremos una función lineal y=mx+n\; y dos puntos A(x_1,y_1)\; y B(x_2,y_2)\; de la recta que la representa.

La pendiente se puede calcular de la siguiente manera:

m=\cfrac {\Delta y}{\Delta x}=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}

La pendiente y el crecimiento

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Propiedades


La pendiente, m\,, describe el crecimiento de la función y=mx+n\,:

  • Si m>0\,, la función es creciente.
  • Si m<0\, la función es decreciente.
  • Si m=0\, la función es constante (recta horizontal).

Además, cuanto mayor es su pendiente (en valor absoluto), más inclinada es su gráfica.

Obtención de la función lineal a partir de su gráfica

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Procedimiento


Para determinar la ecuación de una función lineal a partir de su gráfica seguiremos los siguientes pasos:

  1. Localizaremos el punto de corte con el eje Y, (0,n)\;, para averiguar el valor del parámetro n\;.
  2. Localizaremos otro punto de la recta cuyas coordenadas sean conocidas.
  3. Con esos dos puntos calcularemos la pendiente: m=\cfrac{\Delta y} {\Delta x}.
  4. Una vez averiguados m\; y n\;, los sustituiremos en la ecuación y=mx+n\;.

Nota: Este procedimiento sólo funciona si la gráfica nos permite determinar los puntos de los apartados 1 y 2.

Ejercicios

ejercicio

Ejercicio resuelto: Función lineal


La factura de la luz que hemos contratado en casa nos supone un coste de 10,44 €, además de 0,09 € por kilovatio-hora consumido.

a) Halla la ecuación de la función que relaciona el consumo y el coste de la factura.
b) Representa gráficamente la función.
c) Halla el importe de la factura para un consumo de 750 kw-h.

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